Найдите все значения параметра b, при которых система уравнений {x² + y² = 4, y - |x| + 2 = bx⁴ + b имеет единственное решение.

Решение:

Дана система уравнений:

1) \( x^2 + y^2 = 4 \)

2) \( y - |x| + 2 = bx^4 + b \)

Уравнение (1) описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Уравнение (2) можно преобразовать:

\( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \)

Наша задача — найти такие значения параметра \( b \), при которых окружность и график функции \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) имеют ровно одну общую точку.

Рассмотрим функцию \( f(x) = |x| - 2 \). График этой функции — «галочка» с вершиной в точке \( (0, -2) \).

График \( y = x^2 + y^2 = 4 \) симметричен относительно оси \( Oy \).

Рассмотрим два случая для \( x \):

Случай 1: \( x ≥ 0 \)

\( y = x - 2 + b(x^4 + 1) \)

Случай 2: \( x < 0 \)

\( y = -x - 2 + b(x^4 + 1) \)

Так как уравнение \( x^2 + y^2 = 4 \) симметрично относительно оси \( Oy \), и функция \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) также симметрична относительно оси \( Oy \), то система может иметь единственное решение только в том случае, если это решение лежит на оси \( Oy \), то есть \( x=0 \).

Если \( x = 0 \), то из уравнения (1) получаем:

\( 0^2 + y^2 = 4 → y^2 = 4 → y = ± 2 \).

Подставим \( x = 0 \) в уравнение (2):

\( y - |0| + 2 = b(0^4) + b \)

\( y + 2 = b \)

Теперь проверим возможные значения \( y \):

Подслучай 1.1: \( y = 2 \)

\( 2 + 2 = b → b = 4 \).

Если \( b = 4 \), то при \( x = 0 \) мы получаем точку \( (0, 2) \).

Проверим, будет ли это единственное решение.

При \( b = 4 \) система имеет вид:

\( x^2 + y^2 = 4 \)

\( y - |x| + 2 = 4x^4 + 4 \)

\( y = |x| - 2 + 4x^4 + 4 = |x| + 4x^4 + 2 \)

Для \( x=0 \), \( y = 0 + 0 + 2 = 2 \). Это точка \( (0, 2) \).

Рассмотрим, как выглядит график \( y = |x| + 4x^4 + 2 \) и окружность \( x^2 + y^2 = 4 \).

При \( x ≠ 0 \), \( 4x^4 > 0 \). Следовательно, \( y = |x| + 4x^4 + 2 > |x| + 2 \).

Если \( x=0 \), то \( y = 2 \).

График \( y = |x| + 2 \) — это «галочка» с вершиной в \( (0, 2) \).

График \( y = |x| + 4x^4 + 2 \) будет лежать выше графика \( y = |x| + 2 \) при \( x ≠ 0 \).

Окружность \( x^2 + y^2 = 4 \) имеет точки \( (0, 2), (0, -2), (2, 0), (-2, 0) \).

Точка \( (0, 2) \) лежит на окружности.

Рассмотрим другие точки окружности. Например, \( (2, 0) \).

Подставим \( x=2, y=0 \) во второе уравнение:

\( 0 - |2| + 2 = 4(2^4) + 4 \)

\( -2 + 2 = 4(16) + 4 \)

\( 0 = 64 + 4 \)

\( 0 = 68 \) — неверно.

Рассмотрим точку \( (√2, √2) \). \( (√2)^2 + (√2)^2 = 2 + 2 = 4 \). Точка на окружности.

\( √2 - |√2| + 2 = 4(√2)^4 + 4 \)

\( √2 - √2 + 2 = 4(4) + 4 \)

\( 2 = 16 + 4 \)

\( 2 = 20 \) — неверно.

При \( b=4 \) точка \( (0, 2) \) является единственной общей точкой.

Подслучай 1.2: \( y = -2 \)

\( -2 + 2 = b → b = 0 \).

Если \( b = 0 \), то при \( x = 0 \) мы получаем точку \( (0, -2) \).

При \( b = 0 \) система имеет вид:

\( x^2 + y^2 = 4 \)

\( y - |x| + 2 = 0 \)

\( y = |x| - 2 \)

График \( y = |x| - 2 \) — это «галочка» с вершиной в \( (0, -2) \). Она проходит через точки \( (2, 0) \) и \( (-2, 0) \).

Окружность \( x^2 + y^2 = 4 \) имеет точки \( (0, 2), (0, -2), (2, 0), (-2, 0) \).

Точка \( (0, -2) \) является общей.

Точка \( (2, 0) \): \( 2^2 + 0^2 = 4 \) (на окружности). \( 0 = |2| - 2 = 2 - 2 = 0 \) (на графике). Точка \( (2, 0) \) — общая.

Точка \( (-2, 0) \): \( (-2)^2 + 0^2 = 4 \) (на окружности). \( 0 = |-2| - 2 = 2 - 2 = 0 \) (на графике). Точка \( (-2, 0) \) — общая.

При \( b=0 \) система имеет три общих решения: \( (0, -2), (2, 0), (-2, 0) \). Нам нужно единственное решение.

Рассмотрим случай, когда \( x ≠ 0 \) и график \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) касается окружности в одной точке, либо пересекает ее в одной точке, а остальные случаи приводят к большему числу решений.

Если \( b < 0 \), то \( b(x^4 + 1) \) будет иметь отрицательный вклад. Функция \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) будет «ниже» \( y = |x| - 2 \).

Проанализируем функцию \( g(x) = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) при \( x > 0 \): \( g(x) = x - 2 + b(x^4 + 1) \).

Производная \( g'(x) = 1 + b(4x^3) \).

Для касания с окружностью \( x^2 + y^2 = 4 \) (для \( x > 0 \), \( y > 0 \)), касательная к окружности в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид \( x x_0 + y y_0 = 4 \), или \( y = -\frac{x_0}{y_0} x + \frac{4}{y_0} \).

Это слишком сложный путь.

Вернемся к симметрии. Единственное решение возможно только на оси \( Oy \) (т.е. \( x=0 \)) или при касании.

Когда \( x=0 \), мы получили \( b=4 \) (для \( y=2 \)) и \( b=0 \) (для \( y=-2 \)).

Мы выяснили, что при \( b=4 \) единственное решение \( (0, 2) \).

Рассмотрим значение \( b \) такое, что график \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) имеет ровно одну точку пересечения с окружностью.

Если \( b > 0 \), то \( b(x^4 + 1) > 0 \). Функция \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) будет «выше» \( y = |x| - 2 \).

При \( x=0 \), \( y = -2 + b \).

Если \( -2 + b = -2 \) (то есть \( b=0 \)), мы получили 3 решения.

Если \( -2 + b = 2 \) (то есть \( b=4 \)), мы получили 1 решение.

Рассмотрим случай, когда \( b < 0 \). Пусть \( b = -c \), где \( c > 0 \).

\( y = |x| - 2 - c(x^4 + 1) \).

При \( x=0 \), \( y = -2 - c \). Это значение \( y \) всегда меньше \( -2 \).

Окружность \( x^2 + y^2 = 4 \) имеет \( y \) в диапазоне \( [-2, 2] \).

Поэтому, если \( b < 0 \), точка \( (0, -2 - c) \) не лежит на окружности. А значит, единственное решение не может быть на оси \( Oy \).

Однако, из-за симметрии, если есть одно решение при \( x ≠ 0 \), то должно быть и другое решение при \( -x \), что даст минимум два решения.

Таким образом, единственное решение возможно только при \( x=0 \).

Мы уже рассмотрели случаи \( x=0 \):

1) \( y=2 \) => \( b=4 \). Единственное решение.

2) \( y=-2 \) => \( b=0 \). Три решения.

Значит, единственный параметр, при котором система имеет единственное решение, это \( b=4 \).

Проверим еще раз.

Когда \( b=4 \), система:

\( x^2 + y^2 = 4 \)

\( y - |x| + 2 = 4x^4 + 4 \) → \( y = |x| + 4x^4 + 2 \)

График \( y = |x| + 4x^4 + 2 \) проходит через точку \( (0, 2) \).

При \( x=1 \), \( y = 1 + 4(1)^4 + 2 = 1 + 4 + 2 = 7 \). Точка \( (1, 7) \).

При \( x=1 \) на окружности \( 1^2 + y^2 = 4 → y^2 = 3 → y = ± √3 \).

Точка \( (1, √3) \) не совпадает с \( (1, 7) \).

Таким образом, \( b=4 \) дает единственное решение \( (0, 2) \).

Что если \( b < 0 \)?

Пусть \( b = -1 \).

\( y = |x| - 2 - (x^4 + 1) = |x| - x^4 - 3 \).

При \( x=0 \), \( y = -3 \). Эта точка не на окружности.

При \( x=1 \), \( y = 1 - 1 - 3 = -3 \).

При \( x=2 \), \( y = 2 - 16 - 3 = -17 \).

График \( y = |x| - x^4 - 3 \) уходит вниз.

При \( b < 0 \), \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) будет стремиться вниз при увеличении \( |x| \).

Окружность \( x^2 + y^2 = 4 \) ограничена \( y ∈ [-2, 2] \).

Если \( b < 0 \), то \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) при \( x=0 \) равно \( -2+b < -2 \).

Для \( |x| \) достаточно больших, \( b(x^4+1) \) станет очень отрицательным, и \( y \) будет сильно меньше \( -2 \).

Это означает, что график \( y = |x| - 2 + b(x^4 + 1) \) может пересекать окружность.

Снова рассмотрим случай, когда единственное решение достигается при \( x=0 \).

Это означает, что при \( x=0 \), \( y \) должен быть таким, чтобы точка \( (0, y) \) лежала на окружности, т.е. \( y=± 2 \).

И эта точка должна быть единственным решением.

Мы получили \( b=4 \) для \( y=2 \), и \( b=0 \) для \( y=-2 \).

При \( b=0 \), мы имели 3 решения.

При \( b=4 \), мы имеем 1 решение.

Окончательный вывод:

Единственное решение системы уравнений возможно только тогда, когда оно лежит на оси симметрии \( Oy \), т.е. \( x = 0 \).

Подставляя \( x=0 \) в первое уравнение, получаем \( y = ± 2 \).

Подставляя \( x=0 \) во второе уравнение, получаем \( y+2 = b \).

Если \( y=2 \), то \( 2+2=b → b=4 \).

Если \( y=-2 \), то \( -2+2=b → b=0 \).

Проверим эти значения \( b \):

При \( b=0 \): \( y = |x| - 2 \). График этой функции пересекает окружность \( x^2+y^2=4 \) в трех точках: \( (0, -2), (2, 0), (-2, 0) \).

При \( b=4 \): \( y = |x| + 4x^4 + 2 \). График этой функции пересекает окружность \( x^2+y^2=4 \) только в точке \( (0, 2) \). Для \( x ≠ 0 \), \( y = |x| + 4x^4 + 2 > |x| + 2 \). Значения \( y \) для \( x ≠ 0 \) на графике функции будут больше, чем значения \( y \) на окружности.

Таким образом, при \( b=4 \) система имеет единственное решение.

Ответ: 4.