Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система (y(y-11) = xy-7(x+4), { z≤3, ax-30-4 4-y = -1 имеет единственное решение. Выберите верный ответ: a∈ {-4/3} U [0;1]. a€ {-4/3} U [0;1). a€ {-4/3} U (0;1). a€ {4/3} U [0;1).

Решение:

Данная система состоит из двух уравнений и одного неравенства:

1. \( y(y-11) = xy-7(x+4) \)
2. \( ax-3a-4 = -(4-y) \)
3. \( x ≤ 3 \)

Преобразуем уравнения:

Из второго уравнения выразим \( y \):

\( ax-3a-4 = -4+y \)

\( y = ax-3a \)

Подставим \( y \) в первое уравнение:

\( (ax-3a)(ax-3a-11) = x(ax-3a) - 7(x+4) \)

Раскроем скобки:

\( a^2x^2 - 3a^2x - 11ax + 3a^2x - 9a^2 - 33a = ax^2 - 3ax - 7x - 28 \)

\( a^2x^2 - 11ax + 3a^2 - 9a^2 - 33a = ax^2 - 3ax - 7x - 28 \)

\( a^2x^2 - 11ax - 6a^2 - 33a = ax^2 - 3ax - 7x - 28 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( a^2x^2 - ax^2 - 11ax + 3ax + 7x + 3a^2 - 6a^2 - 33a + 28 = 0 \)

\( x^2(a^2-a) + x(-8a+7) + (-3a^2-33a+28) = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( x \). Система имеет единственное решение, если:

1. Квадратное уравнение имеет одно решение \( x_0 \), такое что \( x_0 ≤ 3 \) и соответствующее \( y_0 = ax_0-3a \) не равно 4 (знаменатель в исходной системе).
2. Квадратное уравнение имеет два решения \( x_1, x_2 \), и одно из них удовлетворяет условию \( x ≤ 3 \), а другое нет, или одно из них равно 4.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень.

Дискриминант равен нулю:

\( D = (-8a+7)^2 - 4(a^2-a)(-3a^2-33a+28) = 0 \)

Этот путь очень громоздкий.

Рассмотрим графическую интерпретацию:

Первое уравнение \( y(y-11) = xy-7(x+4) \) после раскрытия скобок и приведения подобных имеет вид:

\( y^2 - 11y = xy - 7x - 28 \)

\( y^2 - xy - 11y + 7x + 28 = 0 \)

Это уравнение гиперболы. Второе уравнение \( ax-3a-4 = -1(4-y) \) преобразуется в \( y = ax-3a \), что является прямой линией.

Третье условие \( x ≤ 3 \) ограничивает область допустимых значений \( x \).

Система имеет единственное решение, когда прямая \( y=ax-3a \) пересекает гиперболу \( y^2 - xy - 11y + 7x + 28 = 0 \) в одной точке в области \( x ≤ 3 \) и \( y ≠ 4 \).

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой.

Подставим \( y=ax-3a \) в уравнение гиперболы:

\( (ax-3a)^2 - x(ax-3a) - 11(ax-3a) + 7x + 28 = 0 \)

\( a^2x^2 - 6a^2x + 9a^2 - ax^2 + 3ax - 11ax + 33a + 7x + 28 = 0 \)

\( x^2(a^2-a) + x(-6a^2+3a-11a+7) + (9a^2+33a+28) = 0 \)

\( x^2(a^2-a) + x(-6a^2-8a+7) + (9a^2+33a+28) = 0 \)

Это квадратное уравнение, которое должно иметь одно решение \( x \) такое, что \( x ≤ 3 \) и \( y = ax-3a ≠ 4 \).

Рассмотрим особые случаи:

1. Прямая проходит через точку, где гипербола имеет особенность (если есть).

2. Один из корней квадратного уравнения равен 3, а другой удовлетворяет условию.

3. Квадратное уравнение вырождается в линейное (коэффициент при \( x^2 \) равен 0).

Вырождение квадратного уравнения:

\( a^2-a = 0 ⇒ a(a-1) = 0 ⇒ a=0 \) или \( a=1 \).

Если \( a=0 \):

Уравнение прямой: \( y = 0 \).

Уравнение гиперболы: \( y^2 - xy - 11y + 7x + 28 = 0 \) ⇒ \( 0 - 0 - 0 + 7x + 28 = 0 ⇒ 7x = -28 ⇒ x = -4 \).

Проверяем условие \( x ≤ 3 \): \( -4 ≤ 3 \) — верно.

Проверяем условие \( y ≠ 4 \): \( 0 ≠ 4 \) — верно.

Значит, \( a=0 \) является решением.

Если \( a=1 \):

Уравнение прямой: \( y = x-3 \).

Квадратное уравнение: \( x^2(1^2-1) + x(-6(1)^2-8(1)+7) + (9(1)^2+33(1)+28) = 0 \)

\( 0 · x^2 + x(-6-8+7) + (9+33+28) = 0 \)

\( -7x + 70 = 0 ⇒ x = 10 \).

Проверяем условие \( x ≤ 3 \): \( 10 ≤ 3 \) — неверно.

Значит, \( a=1 \) не является решением.

Случай, когда дискриминант равен нулю:

\( D = (-6a^2-8a+7)^2 - 4(a^2-a)(9a^2+33a+28) = 0 \)

Раскрываем скобки и приводим подобные. Это также очень громоздко.

Рассмотрим случай, когда один из корней равен 4:

Если \( x=4 \), то \( y = a(4)-3a = a \).

Подставим \( x=4, y=a \) в уравнение гиперболы:

\( a^2 - 4a - 11a + 7(4) + 28 = 0 \)

\( a^2 - 15a + 28 + 28 = 0 \)

\( a^2 - 15a + 56 = 0 \)

\( (a-7)(a-8) = 0 \)

\( a=7 \) или \( a=8 \).

Эти значения \( a \) приводят к тому, что \( x=4 \), что не удовлетворяет условию \( x ≤ 3 \). Но в этом случае может быть второй корень, который удовлетворяет условию.

Рассмотрим случай, когда один из корней равен 3:

Если \( x=3 \), то \( y = 3a-3a = 0 \).

Подставим \( x=3, y=0 \) в уравнение гиперболы:

\( 0^2 - 3(0) - 11(0) + 7(3) + 28 = 0 \)

\( 21 + 28 = 49 ≠ 0 \)

Значит, \( x=3 \) не является корнем для \( y=0 \) в гиперболе.

Пересмотрим уравнение: \( x^2(a^2-a) + x(-6a^2-8a+7) + (9a^2+33a+28) = 0 \)

Если \( a = -4/3 \):

\( a^2-a = (-4/3)^2 - (-4/3) = 16/9 + 4/3 = 16/9 + 12/9 = 28/9 \)

\( -6a^2-8a+7 = -6(16/9) - 8(-4/3) + 7 = -32/3 + 32/3 + 7 = 7 \)

\( 9a^2+33a+28 = 9(16/9) + 33(-4/3) + 28 = 16 - 44 + 28 = 0 \)

Уравнение становится: \( x^2(28/9) + 7x = 0 \)

\( x( (28/9)x + 7 ) = 0 \)

\( x=0 \) или \( (28/9)x = -7 ⇒ x = -7 · 9/28 = -9/4 \).

Оба корня \( 0 \) и \( -9/4 \) удовлетворяют условию \( x ≤ 3 \).

Проверим \( y ≠ 4 \) для \( a = -4/3 \).

Если \( x=0 \), \( y = (-4/3)(0) - 3(-4/3) = 4 \). Это недопустимое значение \( y \).

Если \( x=-9/4 \), \( y = (-4/3)(-9/4) - 3(-4/3) = 3 + 4 = 7 \). Это допустимое значение \( y \).

Таким образом, при \( a = -4/3 \) мы имеем одно допустимое решение \( x = -9/4 \).

Если \( a=0 \):

\( x^2(0) + x(7) + 28 = 0 ⇒ 7x = -28 ⇒ x = -4 \).

\( x=-4 ≤ 3 \) и \( y = 0(-4) - 3(0) = 0 ≠ 4 \). Значит, \( a=0 \) — решение.

Если \( a=1 \):

\( x^2(0) + x(-7) + (9+33+28) = 0 ⇒ -7x + 70 = 0 ⇒ x = 10 \).

\( x=10 ≤ 3 \) — неверно.

Рассмотрим интервал \( (0, 1) \).

В этом интервале \( a^2-a < 0 \).

Нужно, чтобы квадратное уравнение имело один корень \( ≤ 3 \).

Это возможно, когда дискриминант равен нулю, или когда один корень равен 3, а другой \( > 3 \).

Если \( D=0 \):

\( (-6a^2-8a+7)^2 - 4(a^2-a)(9a^2+33a+28) = 0 \)

Это полином 4-й степени. Нет простого решения.

Рассмотрим варианты ответов:

Вариант 1: \( a ∈ \{ -4/3 \} ∪ [0; 1] \)

Мы нашли \( a=-4/3 \) и \( a=0 \). Нам нужно проверить интервал \( (0, 1] \).

Если \( a ∈ (0, 1) \):

\( a^2-a < 0 \).

Квадратное уравнение \( x^2(a^2-a) + x(-6a^2-8a+7) + (9a^2+33a+28) = 0 \).

Если \( y=4 \), то \( 4 = ax-3a ⇒ x = (4+3a)/a \).

Подставим \( y=4 \) в уравнение гиперболы:

\( 16 - 4x - 44 + 7x + 28 = 0 \)

\( 3x + 0 = 0 ⇒ x=0 \).

Итак, точка \( (0, 4) \) принадлежит гиперболе.

Если \( x=0 \), то \( y=a(0)-3a = -3a \).

Если \( a ∈ (0, 1) \), то \( y = -3a \) не равно 4.

Если \( x=0 \) и \( y=-3a \) является решением, то \( x=0 ≤ 3 \) — верно.

При \( x=0 \), \( y=-3a \) подставим в квадратное уравнение:

\( 0^2(a^2-a) + 0(-6a^2-8a+7) + (9a^2+33a+28) = 0 \)

\( 9a^2+33a+28 = 0 \)

Дискриминант \( D = 33^2 - 4 · 9 · 28 = 1089 - 1008 = 81 \).

\( a = (-33 ± 9) / 18 \)

\( a = -24/18 = -4/3 \) или \( a = -42/18 = -7/3 \).

Эти значения \( a \) не входят в интервал \( (0, 1) \).

Значит, \( x=0 \) не является корнем квадратного уравнения для \( a ∈ (0, 1) \).

Рассмотрим случай \( a=1 \) отдельно. У нас получилось \( x=10 \), что не подходит.

Проверим \( a=1 \) в исходном уравнении:

\( y=x-3 \).

\( y^2-xy-11y+7x+28=0 \)

\( (x-3)^2 - x(x-3) - 11(x-3) + 7x + 28 = 0 \)

\( x^2-6x+9 - x^2+3x - 11x+33 + 7x + 28 = 0 \)

\( -16x + 70 = 0 ⇒ x = 70/16 = 35/8 = 4.375 \).

\( x=4.375 ≤ 3 \) — неверно.

Вернемся к \( a = -4/3 \):

Мы получили два корня \( x=0 \) и \( x=-9/4 \).

При \( x=0 \), \( y = (-4/3)(0) - 3(-4/3) = 4 \). Знаменатель \( 4-y = 4-4 = 0 \). Это недопустимо.

При \( x=-9/4 \), \( y = (-4/3)(-9/4) - 3(-4/3) = 3+4 = 7 \).

\( x=-9/4 ≤ 3 \) — верно.

\( y=7 ≠ 4 \) — верно.

Следовательно, при \( a=-4/3 \) есть единственное решение.

Рассмотрим \( a ∈ [0, 1] \).

Мы знаем, что \( a=0 \) является решением.

Рассмотрим \( a ∈ (0, 1) \).

Уравнение \( x^2(a^2-a) + x(-6a^2-8a+7) + (9a^2+33a+28) = 0 \).

Так как \( a ∈ (0, 1) \), то \( a^2-a < 0 \).

Квадратное уравнение имеет два корня \( x_1, x_2 \).

Если \( D=0 \), то единственный корень \( x = -(-6a^2-8a+7) / (2(a^2-a)) \).

Этот корень должен быть \( ≤ 3 \).

Рассмотрим случай, когда один из корней равен 4.

\( a=7 \) или \( a=8 \). Эти значения вне интервала \( [0, 1] \).

Проанализируем вариант \( a ∈ [-4/3, 0] ∪ [0, 1] \).

Если \( a=1 \), то \( x = 35/8 \) (не подходит).

Если \( a=0 \), то \( x = -4 \) (подходит).

Если \( a ∈ (0, 1) \):

\( a^2-a < 0 \).

\( 9a^2+33a+28 = 0 \) для \( a=-4/3 \) и \( a=-7/3 \).

Значит, для \( a ∈ (0, 1) \), \( 9a^2+33a+28 > 0 \).

Рассмотрим случай, когда один корень равен 3, а другой \( > 3 \).

Если \( x=3 \) является корнем, то \( 9(a^2-a) + 3(-6a^2-8a+7) + (9a^2+33a+28) = 0 \)

\( 9a^2-9a - 18a^2-24a+21 + 9a^2+33a+28 = 0 \)

\( (9-18+9)a^2 + (-9-24+33)a + (21+28) = 0 \)

\( 0a^2 + 0a + 49 = 0 \)

\( 49 = 0 \) — неверно.

Значит, \( x=3 \) никогда не является корнем.

Единственное решение достигается, когда:

1. Квадратное уравнение имеет один корень \( x_0 \), и \( x_0 ≤ 3 \), и \( y_0 ≠ 4 \).
2. Квадратное уравнение имеет два корня \( x_1, x_2 \), такие что \( x_1 ≤ 3 \) и \( x_2 > 3 \) (или наоборот), и соответствующие \( y \) не равны 4.

Рассмотрим \( a ∈ (0, 1) \).

\( a^2-a < 0 \).

\( D = (-6a^2-8a+7)^2 - 4(a^2-a)(9a^2+33a+28) \)

Нам нужно, чтобы \( D ≥ 0 \).

Рассмотрим случай \( a=0.5 \).

\( a^2-a = 0.25-0.5 = -0.25 \).

\( -6a^2-8a+7 = -6(0.25) - 8(0.5) + 7 = -1.5 - 4 + 7 = 1.5 \).

\( 9a^2+33a+28 = 9(0.25) + 33(0.5) + 28 = 2.25 + 16.5 + 28 = 46.75 \).

\( D = (1.5)^2 - 4(-0.25)(46.75) = 2.25 + 46.75 = 49 \).

\( √{D} = 7 \).

\( x = (-1.5 ± 7) / (2(-0.25)) = (-1.5 ± 7) / (-0.5) \)

\( x_1 = (5.5) / (-0.5) = -11 \).

\( x_2 = (-8.5) / (-0.5) = 17 \).

\( x_1 = -11 ≤ 3 \) — верно.

\( x_2 = 17 ≤ 3 \) — неверно.

Проверим \( y ≠ 4 \) при \( a=0.5 \).

При \( x=-11 \), \( y = 0.5(-11) - 3(0.5) = -5.5 - 1.5 = -7 \). \( y ≠ 4 \) — верно.

Значит, \( a=0.5 \) является решением.

Проверим \( a=1 \) еще раз.

\( a=1 \) приводит к линейному уравнению \( -7x+70=0 \) с корнем \( x=10 \), что не удовлетворяет \( x ≤ 3 \).

Проверим \( a=0 \) еще раз.

\( a=0 \) приводит к линейному уравнению \( 7x+28=0 \) с корнем \( x=-4 \), что удовлетворяет \( x ≤ 3 \).

Значит, \( a=-4/3 \) и \( a ∈ [0, 1) \) являются решениями.

Вариант \( a ∈ [-4/3, 0] ∪ [0, 1) \)

У нас есть \( a=-4/3 \), \( a=0 \), \( a=0.5 \).

Рассмотрим последний вариант: \( a ∈ [-4/3, 0] ∪ (0, 1] \).

Рассмотрим \( a=1 \) отдельно. В случае \( a=1 \), \( x = 35/8 \), что не удовлетворяет \( x ≤ 3 \).

Следовательно, правильный ответ: \( a ∈ \{ -4/3 \} ∪ [0, 1) \).

Проверим условие \( y ≠ 4 \).

При \( a ∈ [0, 1) \), \( x^2(a^2-a) + x(-6a^2-8a+7) + (9a^2+33a+28) = 0 \).

Нам нужно, чтобы хотя бы один корень \( x ≤ 3 \) и \( y = ax-3a ≠ 4 \).

Рассмотрим точку \( x=0 \). Тогда \( y = -3a \). Если \( a ∈ [0, 1) \), то \( y ≠ 4 \).

Если \( x=0 \) является корнем, то \( 9a^2+33a+28 = 0 \), что дает \( a = -4/3 \) или \( a = -7/3 \). Эти значения не входят в \( [0, 1) \).

Рассмотрим случай, когда \( a=0 \), \( x=-4 \), \( y=0 \). Это решение.

Рассмотрим случай, когда \( a=-4/3 \), \( x=-9/4 \), \( y=7 \). Это решение.

Рассмотрим \( a ∈ (0, 1) \).

Мы получили, что при \( a=0.5 \) есть решения \( x=-11 \) и \( x=17 \). \( x=-11 \) подходит.

Таким образом, \( a ∈ [0, 1) \) — правильный интервал.

Правильный ответ: \( a ∈ \{ -4/3 \} ∪ [0, 1) \).

Это соответствует варианту: \( a ∈ \{ -4/3 \} ∪ [0;1).

Обратите внимание на опции. Вариант \( a ∈ \{ -4/3 \} ∪ [0;1). \)

Сравниваем с вариантами:

• a∈ {-4/3} U [0;1].
• a€ {-4/3} U [0;1).
• a€ {-4/3} U (0;1).
• a€ {4/3} U [0;1).

Наиболее подходящий вариант: \( a ∈ \{ -4/3 \} ∪ [0;1).