Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система (xy - x + 7)(y - x + 7) = 0 y = 3x + a имеет ровно 2 различных решения.

Решение:

Система уравнений состоит из двух уравнений:

1. \( (xy - x + 7)(y - x + 7) = 0 \)
2. \( y = 3x + a \)

Из первого уравнения следует, что либо \( xy - x + 7 = 0 \), либо \( y - x + 7 = 0 \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( y - x + 7 = 0 \)

Подставим \( y = 3x + a \) во второе уравнение:

\( (3x + a) - x + 7 = 0 \)

\( 2x + a + 7 = 0 \)

\( 2x = -a - 7 \)

\( x = \frac{-a - 7}{2} \)

Это уравнение всегда имеет одно решение для \(x\) при любом \(a\). Следовательно, и \(y\) будет иметь одно значение. Этот случай дает одно решение системы.

Случай 2: \( xy - x + 7 = 0 \)

Подставим \( y = 3x + a \) в это уравнение:

\( x(3x + a) - x + 7 = 0 \)

\( 3x^2 + ax - x + 7 = 0 \)

\( 3x^2 + (a - 1)x + 7 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Чтобы система имела ровно 2 различных решения, необходимо, чтобы это квадратное уравнение имело ровно два различных корня, которые не совпадают с решением из Случая 1.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть больше нуля:

\[ D = (a - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 > 0 \]

\[ (a - 1)^2 - 84 > 0 \]

\[ (a - 1)^2 > 84 \]

Это означает, что \( a - 1 > \sqrt{84} \) или \( a - 1 < -\sqrt{84} \).

\( \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21} \)

Значит, \( a > 1 + 2\sqrt{21} \) или \( a < 1 - 2\sqrt{21} \).

Теперь нужно рассмотреть, когда корни этого квадратного уравнения совпадают с корнем из Случая 1.

Корень из Случая 1: \( x_1 = \frac{-a - 7}{2} \).

Подставим этот корень в уравнение \( 3x^2 + (a - 1)x + 7 = 0 \):

\( 3\left(\frac{-a - 7}{2}\right)^2 + (a - 1)\left(\frac{-a - 7}{2}\right) + 7 = 0 \)

\( 3\frac{(a + 7)^2}{4} - \frac{(a - 1)(a + 7)}{2} + 7 = 0 \)

Умножим на 4:

\( 3(a^2 + 14a + 49) - 2(a^2 + 6a - 7) + 28 = 0 \)

\( 3a^2 + 42a + 147 - 2a^2 - 12a + 14 + 28 = 0 \)

\( a^2 + 30a + 189 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \(a\):

\[ a = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 1 \cdot 189}}{2} = \frac{-30 \pm \sqrt{900 - 756}}{2} = \frac{-30 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-30 \pm 12}{2} \]

\( a_1 = \frac{-30 + 12}{2} = -9 \)

\( a_2 = \frac{-30 - 12}{2} = -21 \)

Когда \(a = -9\) или \(a = -21\), один из корней квадратного уравнения совпадает с корнем из первого случая, и тогда всего будет одно решение.

Мы хотим, чтобы у нас было ровно 2 решения. Это произойдет, если:

1. Квадратное уравнение \( 3x^2 + (a - 1)x + 7 = 0 \) имеет два различных корня (т.е. \( a > 1 + 2\sqrt{21} \) или \( a < 1 - 2\sqrt{21} \)), ИЛИ
2. Квадратное уравнение имеет один корень (т.е. \( D = 0 \)), и этот корень не совпадает с корнем из первого случая.

Но нам нужно ровно 2 решения. Это значит, что либо квадратное уравнение дает 2 решения, и одно из них совпадает с решением из первой части, а другое нет. Либо квадратное уравнение дает 1 решение, и оно отлично от решения из первой части. Либо квадратное уравнение дает 2 решения, и оба отличны от решения из первой части.

Рассмотрим случаи, когда у нас получается ровно 2 решения:

Случай А: Квадратное уравнение \( 3x^2 + (a - 1)x + 7 = 0 \) имеет ровно 2 различных корня, и один из них совпадает с корнем \( x_1 = \frac{-a - 7}{2} \).

Это происходит, когда \( a = -9 \) или \( a = -21 \). В этом случае, если \( D > 0 \) для этих \(a\), то будет 2 решения. Проверим \(D\) для \(a = -9\):

\[ D = (-9 - 1)^2 - 84 = (-10)^2 - 84 = 100 - 84 = 16 > 0 \]

Для \(a = -21\):

\[ D = (-21 - 1)^2 - 84 = (-22)^2 - 84 = 484 - 84 = 400 > 0 \]

Так как \(D > 0\) для \(a = -9\) и \(a = -21\), то при этих значениях \(a\) квадратное уравнение имеет два различных корня. Один из них совпадает с корнем из \( y - x + 7 = 0 \). Значит, всего у системы будет \(1 + 1 = 2\) решения.

Случай Б: Квадратное уравнение \( 3x^2 + (a - 1)x + 7 = 0 \) имеет ровно 1 корень (т.е. \( D = 0 \)), и этот корень НЕ совпадает с корнем из \( y - x + 7 = 0 \).

\( D = (a - 1)^2 - 84 = 0 \) => \( (a - 1)^2 = 84 \) => \( a - 1 = \pm\sqrt{84} \) => \( a = 1 \pm 2\sqrt{21} \).

При этих значениях \(a\) у нас будет 1 решение от квадратного уравнения и 1 решение от \(y - x + 7 = 0\). Итого 2 решения, если эти корни не совпадают. Мы уже нашли, что корни совпадают, когда \( a = -9 \) или \( a = -21 \). Значения \( 1 \pm 2\sqrt{21} \) не равны \( -9 \) или \( -21 \).

Случай В: Квадратное уравнение \( 3x^2 + (a - 1)x + 7 = 0 \) имеет 0 корней (т.е. \( D < 0 \)).

В этом случае у нас будет только 1 решение из \( y - x + 7 = 0 \). Это нас не устраивает.

Случай Г: Квадратное уравнение \( 3x^2 + (a - 1)x + 7 = 0 \) имеет 2 различных корня, и НИ ОДИН из них не совпадает с корнем из \( y - x + 7 = 0 \).

Это произойдет, когда \( D > 0 \) (т.е. \( a > 1 + 2\sqrt{21} \) или \( a < 1 - 2\sqrt{21} \)) И \( a \neq -9 \) и \( a \neq -21 \).

Нам нужно ровно 2 решения. Это достигается, когда:

1. \(a = -9\) или \(a = -21\) (один общий корень, и один уникальный корень из квадратного уравнения).
2. \( a = 1 + 2\sqrt{21} \) или \( a = 1 - 2\sqrt{21} \) (один корень от квадратного уравнения, и один корень от \( y - x + 7 = 0 \), и эти корни различны).

Следовательно, значения \(a\), при которых система имеет ровно 2 различных решения, это: \( -21, -9, 1 - 2\sqrt{21}, 1 + 2\sqrt{21} \).

Ответ: \( a \in \{-21, -9, 1 - 2\sqrt{21}, 1 + 2\sqrt{21}\} \).