Найдите все значения а, при каждом из которых система 2^|x|+3 + 7·|x|+1=8y+7x²+a, x²+y²=1 имеет единственное решение.

Решение:

Перепишем первое уравнение системы:

\( 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 = 8y + 7x^2 + a \)

Заметим, что \( |x|^2 = x^2 \). Преобразуем уравнение:

\( 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 = 8y + 7|x|^2 + a \)

Выразим \( a \):

\( a = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 8y - 7|x|^2 \)

Второе уравнение системы — это уравнение окружности с центром в начале координат \( (0, 0) \) и радиусом \( 1 \):

\( x^2 + y^2 = 1 \)

Из второго уравнения выразим \( y^2 \):

\( y^2 = 1 - x^2 \)

Следовательно, \( y = \pm \sqrt{1 - x^2} \). Учтем, что \( |x| \le 1 \) и \( -1 \le x \le 1 \).

Подставим \( y \) в выражение для \( a \). Возможны два случая:

1. \( y = \sqrt{1 - x^2} \)


2. \( y = -\sqrt{1 - x^2} \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 \). Тогда \( a = f(x) - 8y \).

Поскольку \( x^2 = |x|^2 \), можем записать:

\( a = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 8y - 7|x|^2 \)

Используем симметрию относительно оси \( y \) (так как \( |x| \) и \( x^2 \) — чётные функции). Рассмотрим функцию \( g(t) = 2^{t+3} + 7t + 1 - 7t^2 \), где \( t = |x| \), \( 0 \le t \le 1 \).

\( a = g(|x|) - 8y \)

На окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) возможные значения \( |x| \) — это \( [0, 1] \). Для каждого \( |x| \) из \( (0, 1] \) есть два значения \( x \) (кроме \( x=0 \)), и для каждого \( x \) есть два значения \( y \) (кроме \( x=\pm 1 \)).

Система имеет единственное решение, когда одна из ветвей функции \( a = g(|x|) - 8y \) касается или пересекает окружность в одной точке.

Рассмотрим функцию \( a(x) \) для \( x \in [-1, 1] \).

\( a = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 8y - 7x^2 \)

Выделим часть, зависящую только от \( x \): \( h(x) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 \).

\( a = h(x) - 8y \)

Из \( y^2 = 1 - x^2 \), следует \( y = \pm \sqrt{1 - x^2} \).

Если \( x=0 \), то \( y=\pm 1 \).

При \( x=0, y=1 \): \( a = 2^3 + 0 + 1 - 8(1) - 0 = 8 + 1 - 8 = 1 \).

При \( x=0, y=-1 \): \( a = 2^3 + 0 + 1 - 8(-1) - 0 = 8 + 1 + 8 = 17 \).

Если \( x=1 \), то \( y=0 \).

При \( x=1, y=0 \): \( a = 2^{1+3} + 7(1) + 1 - 8(0) - 7(1)^2 = 2^4 + 7 + 1 - 7 = 16 + 1 = 17 \).

При \( x=-1, y=0 \): \( a = 2^{1+3} + 7(1) + 1 - 8(0) - 7(-1)^2 = 2^4 + 7 + 1 - 7 = 16 + 1 = 17 \).

Рассмотрим функцию \( F(x, y) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 8y - 7x^2 \). Мы ищем \( a \) такие, что \( F(x, y) = a \) и \( x^2 + y^2 = 1 \) имеют единственное решение.

Заметим, что \( 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 = 8y + a \). Пусть \( G(x) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 \). Тогда \( G(x) = 8y + a \).

Из \( y^2 = 1 - x^2 \), имеем \( y = \pm \sqrt{1-x^2} \).

\( G(x) = 8 (\pm \sqrt{1-x^2}) + a \)

\( a = G(x) \mp 8 \sqrt{1-x^2} \)

Рассмотрим функцию \( φ(x) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 - 8\sqrt{1-x^2} \) и \( ψ(x) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 + 8\sqrt{1-x^2} \).

Нам нужно, чтобы \( a = φ(x) \) или \( a = ψ(x) \) имели единственное пересечение с окружностью \( x^2 + y^2 = 1 \).

Функция \( G(x) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 \) чётная, определена на \( [-1, 1] \).

\( G'(x) = 2^{|x|+3} \ln(2) \cdot \text{sgn}(x) + 7 · \text{sgn}(x) - 14x \).

При \( x > 0 \), \( G'(x) = 2^{x+3} \ln(2) + 7 - 14x \). \( G'(0) = 2^3 · \text{sgn}(0) + 7 · \text{sgn}(0) - 14 · 0 = 8 · 0 + 7 · 0 - 0 = 0 \).

\( G(0) = 2^3 + 0 + 1 - 0 = 9 \).

\( G(1) = 2^{1+3} + 7(1) + 1 - 7(1)^2 = 16 + 7 + 1 - 7 = 17 \).

\( G(-1) = 2^{1+3} + 7(1) + 1 - 7(1)^2 = 16 + 7 + 1 - 7 = 17 \).

Рассмотрим \( a = G(x) - 8y \) и \( x^2 + y^2 = 1 \).

Единственное решение будет, если касательная к окружности совпадает с уровнем \( a \).

Точки \( (0, 1) \) и \( (0, -1) \) на окружности.

При \( x=0 \): \( G(0) = 9 \).

Если \( y=1 \), \( a = 9 - 8(1) = 1 \). Это решение \( (0, 1) \).

Если \( y=-1 \), \( a = 9 - 8(-1) = 17 \). Это решение \( (0, -1) \).

Точки \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \) на окружности.

При \( x=1 \): \( G(1) = 17 \).

Если \( y=0 \), \( a = 17 - 8(0) = 17 \). Это решение \( (1, 0) \).

При \( x=-1 \): \( G(-1) = 17 \).

Если \( y=0 \), \( a = 17 - 8(0) = 17 \). Это решение \( (-1, 0) \).

Таким образом, при \( a=1 \) имеем решение \( (0, 1) \). Это единственное решение.

При \( a=17 \) имеем три решения: \( (0, -1), (1, 0), (-1, 0) \).

Рассмотрим случай, когда \( a = G(x) + 8y \).

При \( x=0 \): \( a = 9 + 8y \).

Если \( y=1 \), \( a = 9 + 8(1) = 17 \). Решение \( (0, 1) \).

Если \( y=-1 \), \( a = 9 + 8(-1) = 1 \). Решение \( (0, -1) \).

При \( x=1 \): \( G(1) = 17 \).

Если \( y=0 \), \( a = 17 + 8(0) = 17 \). Решение \( (1, 0) \).

При \( x=-1 \): \( G(-1) = 17 \).

Если \( y=0 \), \( a = 17 + 8(0) = 17 \). Решение \( (-1, 0) \).

Рассмотрим касание кривых. Уровни \( a = G(x) - 8y \) и \( a = G(x) + 8y \).

Найдем точки, где \( G'(x) = ± 8 \frac{dy}{dx} \).

\( ± \frac{dy}{dx} = ± \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \).

\( G'(x) = 2^{|x|+3} · \text{sgn}(x) · \text{ln}(2) + 7 · \text{sgn}(x) - 14x \).

Нам нужны значения \( a \), при которых \( a = G(x) - 8y \) или \( a = G(x) + 8y \) имеют ровно одно решение с \( x^2+y^2=1 \).

Рассмотрим функцию \( k(x) = G(x) - 8·0 = G(x) \) для \( x \in [-1, 1] \).

\( k(x) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 \).

\( k(0) = 9 \).

\( k(1) = 17 \).

\( k(-1) = 17 \).

Минимум \( k(x) \) при \( x=0 \).

Для единственного решения, \( a \) должно быть либо минимумом, либо максимумом функции \( a \) на окружности, и это значение должно соответствовать единственной точке.

Рассмотрим \( a = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 - 8y \). Обозначим \( f(x, y) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 - 8y \).

При \( x=0, y=1 \), \( a = 2^3 + 0 + 1 - 8(1) - 0 = 1 \). Решение \( (0, 1) \).

При \( x=0, y=-1 \), \( a = 2^3 + 0 + 1 - 8(-1) - 0 = 17 \). Решение \( (0, -1) \).

При \( x=± 1, y=0 \), \( a = 2^4 + 7 + 1 - 0 - 7(1) = 17 \). Решения \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).

Когда \( a=1 \), единственное решение - \( (0, 1) \).

Рассмотрим \( a = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 + 8y \).

При \( x=0, y=1 \), \( a = 2^3 + 0 + 1 + 8(1) - 0 = 17 \). Решение \( (0, 1) \).

При \( x=0, y=-1 \), \( a = 2^3 + 0 + 1 + 8(-1) - 0 = 1 \). Решение \( (0, -1) \).

При \( x=± 1, y=0 \), \( a = 2^4 + 7 + 1 + 0 - 7(1) = 17 \). Решения \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).

Когда \( a=1 \), есть два решения: \( (0, -1) \) и \( (1, 0) \) (или \( (-1, 0) \)).

Мы ищем, когда система имеет единственное решение. Это происходит, когда \( a \) является экстремальным значением на окружности.

Рассмотрим функцию \( F(x) = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 \).

\( F'(x) = 2^{|x|+3} · \text{ln}(2) · \text{sgn}(x) + 7 · \text{sgn}(x) - 14x \).

На \( [0, 1] \), \( F'(x) = 2^{x+3} · \text{ln}(2) + 7 - 14x \).

\( F'(0) = 8 · \text{ln}(2) + 7 \). Это значение положительное.

\( F'(1) = 16 · \text{ln}(2) + 7 - 14 = 16 · \text{ln}(2) - 7 \). \( \text{ln}(2) ≈ 0.693 \). \( 16 · 0.693 - 7 ≈ 11.088 - 7 = 4.088 \). Положительное.

\( F(x) \) возрастает на \( [0, 1] \).

Значит, \( F(x) \) на \( [-1, 1] \) имеет минимум в \( x=0 \) и максимумы в \( x=± 1 \).

Минимум \( F(0) = 9 \).

Максимум \( F(± 1) = 17 \).

Рассмотрим \( a = F(x) - 8y \).

Если \( a = 1 \), то \( 1 = F(x) - 8y \). \( 8y = F(x) - 1 \).

При \( x=0, F(0)=9 \). \( 8y = 9-1 = 8 \), \( y=1 \). Решение \( (0, 1) \).

Если \( x=± 1, F(± 1)=17 \). \( 8y = 17-1 = 16 \), \( y=2 \). Но \( y \) должно быть на окружности, \( y ∈ [-1, 1] \). Поэтому \( y=2 \) невозможно.

Значит, при \( a=1 \) единственное решение - \( (0, 1) \).

Рассмотрим \( a = F(x) + 8y \).

Если \( a = 17 \), то \( 17 = F(x) + 8y \). \( 8y = 17 - F(x) \).

При \( x=0, F(0)=9 \). \( 8y = 17-9 = 8 \), \( y=1 \). Решение \( (0, 1) \).

При \( x=± 1, F(± 1)=17 \). \( 8y = 17-17 = 0 \), \( y=0 \). Решения \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).

Таким образом, при \( a=17 \) получаем три решения.

Нужно найти значения \( a \), при которых \( a = F(x) ± 8³{1-x^2} \) имеет ровно одно решение.

Рассмотрим \( φ(x) = F(x) - 8³{1-x^2} = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 - 8³{1-x^2} \).

\( φ(0) = 2^3 + 0 + 1 - 0 - 8³{1-0} = 9 - 8 = 1 \).

\( φ(± 1) = 2^4 + 7 + 1 - 7 - 8³{0} = 17 \).

Рассмотрим \( ψ(x) = F(x) + 8³{1-x^2} = 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 + 8³{1-x^2} \).

\( ψ(0) = 2^3 + 0 + 1 - 0 + 8³{1-0} = 9 + 8 = 17 \).

\( ψ(± 1) = 2^4 + 7 + 1 - 7 + 8³{0} = 17 \).

Единственное решение получается, когда \( a \) совпадает с экстремальным значением функции, которая имеет одну точку экстремума на окружности.

Если \( a=1 \), то \( φ(x) = 1 \). \( 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 - 8³{1-x^2} = 1 \). \( φ(0)=1 \). Это решение \( x=0 \), что соответствует точке \( (0, 1) \).

Если \( a=17 \), то \( ψ(x) = 17 \). \( 2^{|x|+3} + 7|x| + 1 - 7x^2 + 8³{1-x^2} = 17 \). \( ψ(0)=17 \) и \( ψ(± 1)=17 \). Это соответствует точкам \( (0, -1), (1, 0), (-1, 0) \).

Единственное значение \( a \), при котором система имеет единственное решение, это \( a=1 \).

Ответ: 1.