Найдите все положительные значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases}|x|+|y|=a,\\ y=\sqrt{x+4}\end{cases}\) имеет ровно три различных решения.

Из второго уравнения следует, что \(y\ge 0\) и \(x=y^2-4\). Каждому допустимому значению \(y\) соответствует ровно одно значение \(x\), поэтому достаточно посчитать решения уравнения

\[a=|y^2-4|+y,\qquad y\ge 0.\]

Рассмотрим функцию отдельно на промежутках:

1. При \(0\le y\le 2\): \(a=4-y^2+y\). Это парабола с максимумом \(\frac{17}{4}\) при \(y=\frac12\); на концах промежутка её значения равны \(4\) и \(2\).
2. При \(y\ge 2\): \(a=y^2+y-4\). Функция строго возрастает от значения \(2\) до бесконечности.

При \(4\le a<\frac{17}{4}\) уравнение на первом промежутке имеет два решения, а на втором — одно. Значит, всего получаются три различных значения \(y\), а следовательно, и три различных решения системы. При \(a=\frac{17}{4}\) на первом промежутке остаётся только одно решение, а при значениях вне указанного промежутка общее количество решений также не равно трём.

Ответ: \(a\in\left[4;\frac{17}{4}\right)\).