Найдите вероятность того, что при восьмикратном бросании игрального кубика 6 очков выпадет не менее 4, но не более 6. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кубика равна \( p = \frac{1}{6} \). Вероятность не выпадения 6 очков равна \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \). Количество испытаний \( n = 8 \).

Нам нужно найти вероятность того, что 6 очков выпадет \( k \) раз, где \( 4 \le k \le 6 \). Формула биномиальной вероятности: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Рассчитаем вероятности для \( k=4, 5, 6 \):

1. \( P(X=4) = C_8^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{8-4} = \frac{8!}{4!4!} \cdot (\frac{1}{1296}) \cdot (\frac{625}{1296}) = 70 \cdot \frac{625}{1679616} \approx 0.0260 \)
2. \( P(X=5) = C_8^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^{8-5} = \frac{8!}{5!3!} \cdot (\frac{1}{7776}) \cdot (\frac{125}{216}) = 56 \cdot \frac{125}{1679616} \approx 0.0042 \)
3. \( P(X=6) = C_8^6 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^{8-6} = \frac{8!}{6!2!} \cdot (\frac{1}{46656}) \cdot (\frac{25}{36}) = 28 \cdot \frac{25}{1679616} \approx 0.0004 \)

Общая вероятность равна сумме этих вероятностей:

\( P(4 \le X \le 6) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) \approx 0.0260 + 0.0042 + 0.0004 = 0.0306 \)

Округляем до сотых: \( 0.03 \).

Ответ: 0.03