Найдите величины углов равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с боковой стороной CD угол 30°, а с основанием AD угол 105° соответственно.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим углы трапеции как \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\), где углы \(A\) и \(D\) при основании \(AD\), а углы \(B\) и \(C\) при основании \(BC\).

По условию, \(\angle CAD = 105^\circ\), \(\angle ACD = 30^\circ\).

В треугольнике \(ACD\) можно найти угол \(\angle D\):

\(\angle D = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - 105^\circ - 30^\circ = 45^\circ\)

Так как трапеция равнобедренная, \(\angle A = \angle D = 45^\circ\).

Углы \(A\) и \(B\) (а также \(C\) и \(D\)) являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\), поэтому их сумма равна 180°.

\(\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)

Так как трапеция равнобедренная, \(\angle C = \angle B = 135^\circ\).

Ответ: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 135^\circ\), \(\angle C = 135^\circ\), \(\angle D = 45^\circ\)