1. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный 23°. Ответ дайте в градусах. 2. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = ВХ = BY. Найдите величину угла СВУ, если угол САВ равен 40°.

1. Дано: параллелограмм ABCD, биссектриса угла A пересекает сторону BC под углом 23°.

Найти: острый угол параллелограмма.

Решение:

1. Обозначим угол между биссектрисой угла A и стороной BC как ∠BAK = 23°.
2. Т.к. AK – биссектриса угла A, то ∠BAK = ∠KAD. Следовательно, ∠BAD = 2 × ∠BAK = 2 × 23° = 46°.
3. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Значит, ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 46° = 134°.
4. Острый угол параллелограмма – это угол, меньший 90°. В данном случае это ∠BAD.

Ответ: 46°

2. Дано: треугольник ABC, AB = AC, AX = BX = BY, ∠CAB = 40°.

Найти: ∠CBY.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны: $$ \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - \angle CAB}{2} = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} $$.

2. В равнобедренном треугольнике ABX (AX = BX) угол при основании равен: $$ \angle BAX = \angle ABX = \angle ABC = 70^{\circ} $$.

3. В равнобедренном треугольнике ABY (BX = BY) угол при вершине равен: $$ \angle ABY = \frac{180^{\circ} - \angle BXA}{2} $$, где $$ \angle BXA = 180^{\circ} - 2 \cdot \angle BAX = 180^{\circ} - 2 \cdot 70^{\circ} = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} $$.

4. Угол ABY равен: $$ \angle ABY = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} $$.

5. Угол CBY равен: $$ \angle CBY = \angle ABC - \angle ABY = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ} $$.

Ответ: 30°.