Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x+4)^2+(y-5)^2 = 49 при параллельном переносе на вектор а (-2; 6).

Решение:

Уравнение данной окружности: \( (x+4)^2 + (y-5)^2 = 49 \). Центр этой окружности \( O_1 \) имеет координаты \( (-4; 5) \), а радиус \( R = \sqrt{49} = 7 \).

Параллельный перенос на вектор \( \vec{a} = (-2; 6) \) означает, что каждая точка окружности смещается на \( -2 \) по оси x и на \( 6 \) по оси y.

Новый центр окружности \( O_2 \) будет иметь координаты:

\[ x_2 = x_1 + a_x = -4 + (-2) = -6 \]\[ y_2 = y_1 + a_y = 5 + 6 = 11 \)

Таким образом, центр новой окружности \( O_2 = (-6; 11) \).

Параллельный перенос не изменяет радиус окружности. Следовательно, радиус новой окружности остаётся \( R = 7 \).

Уравнение новой окружности с центром \( (-6; 11) \) и радиусом \( 7 \) имеет вид:

\[ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = R^2 \]\[ (x - (-6))^2 + (y - 11)^2 = 7^2 \]\[ (x+6)^2 + (y-11)^2 = 49 \)

Ответ: \( (x+6)^2 + (y-11)^2 = 49 \).