Найдите углы R и S треугольника PRS, если ∠P = 84°, а ∠R в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S.

Решение:

Пусть внешний угол при вершине S равен \( α \). Тогда угол S равен \( 180^\circ - α \).

По условию задачи, угол R в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S, то есть \( γ_R = α / 4 \).

Внутренний угол S равен \( γ_S = 180^\circ - α \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), следовательно:

\( γ_P + γ_R + γ_S = 180^\circ \)

\( 84^\circ + α / 4 + (180^\circ - α) = 180^\circ \)

\( 84^\circ + α / 4 - α = 0 \)

\( 84^\circ = α - α / 4 \)

\( 84^\circ = 3α / 4 \)

\( α = 84^\circ \cdot 4 / 3 \)

\( α = 28^\circ \cdot 4 = 112^\circ \)

Теперь найдём углы R и S:

\( γ_R = α / 4 = 112^\circ / 4 = 28^\circ \)

\( γ_S = 180^\circ - α = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \)

Проверка: \( 84^\circ + 28^\circ + 68^\circ = 180^\circ \). Все верно.

Ответ: угол R равен 28°, угол S равен 68°.