Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если \( \angle B = 67°, \angle ACD = 49°, \angle CBD = 28° \).

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, значит, сумма противоположных углов равна 180°.

1. Найдем \( \angle D \):

\[ \angle D = 180° - \angle B = 180° - 67° = 113° \]

2. Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на одну дугу CD, следовательно, они равны:

\[ \angle CAD = \angle CBD = 28° \]

3. Найдем \( \angle BAC \):

\[ \angle BAC = \angle BAD - \angle CAD \]

Чтобы найти \( \angle BAD \), воспользуемся тем, что \( \angle BCD + \angle BAD = 180° \). Нам нужно найти \( \angle BCD \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \).

Угол \( \angle BCA \) опирается на дугу AB. Угол \( \angle BDA \) также опирается на дугу AB, значит, \( \angle BCA = \angle BDA \).

Угол \( \angle ADB \) опирается на дугу AB, значит, \( \angle ADB = \angle ACB \).

Угол \( \angle CDB \) опирается на дугу CB. Угол \( \angle CAB \) также опирается на дугу CB, значит, \( \angle CAB = \angle CDB \).

\( \angle D = \angle ADB + \angle CDB = 113° \).

\( \angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 67° \).

\( \angle CBD = 28° \), следовательно \( \angle ABD = 67° - 28° = 39° \).

Угол \( \angle ABD \) опирается на дугу AD. Угол \( \angle ACD \) также опирается на дугу AD, значит \( \angle ACD = \angle ABD = 39° \).

Но по условию \( \angle ACD = 49° \). Это противоречие. Проверим условие задачи. Возможно, \( \angle ADC = 49° \) или \( \angle BAC = 49° \).

Давайте предположим, что \( \angle BAC = 49° \) вместо \( \angle ACD \) = 49°.

Если \( \angle BAC = 49° \):

1. \( \angle D = 180° - 67° = 113° \)
2. \( \angle CAD = \angle CBD = 28° \)
3. \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 49° + 28° = 77° \)
4. \( \angle BCD = 180° - \angle BAD = 180° - 77° = 103° \)
5. \( \angle BCA = \angle BCD - \angle ACD \). Нам нужно найти \( \angle ACD \).
6. Угол \( \angle ACD \) опирается на дугу AD. \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 67° - 28° = 39° \).
7. \( \angle ACD = \angle ABD = 39° \).
8. \( \angle BCA = 103° - 39° = 64° \).
9. \( \angle BAC = 49° \)
10. \( \angle CAD = 28° \)
11. \( \angle ACB = 64° \)
12. \( \angle ACD = 39° \)
13. \( \angle CDB = \angle CAB = 49° \)
14. \( \angle ADB = \angle ACB = 64° \)
15. Проверка: \( \angle D = \angle ADB + \angle CDB = 64° + 49° = 113° \) (верно). \( \angle B = \angle ABD + \angle CBD = 39° + 28° = 67° \) (верно).
16. \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 49° + 28° = 77° \)
17. \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 64° + 39° = 103° \)
18. \( \angle BAD + \angle BCD = 77° + 103° = 180° \) (верно).

Ответ: \( \angle A = 77°, \angle B = 67°, \angle C = 103°, \angle D = 113° \).