Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к функции f(x) = - sin(x) / 2 - 4√3 cos(x) в точке с абсциссой, равной x₀ = -π/3.

Решение:

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно вычислить производную функции \( f(x) \) и подставить в неё значение \( x_0 \).

1. Найдём производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{\sin(x)}{2} - 4\sqrt{3}\cos(x) \right) \]

\[ f'(x) = -\frac{1}{2}\cos(x) - 4\sqrt{3}\left(-\sin(x)\right) \]

\[ f'(x) = -\frac{1}{2}\cos(x) + 4\sqrt{3}\sin(x) \]

2. Подставим \( x_0 = -\frac{\pi}{3} \) в производную:

\[ f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 4\sqrt{3}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \]

Вспомним значения тригонометрических функций:

• \( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \)
• \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Подставляем найденные значения:

\[ f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

\[ f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{4\sqrt{3}\sqrt{3}}{2} \]

\[ f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 3}{2} \]

\[ f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{12}{2} \]

\[ f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4} - 6 \]

\[ f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{24}{4} \]

\[ f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{25}{4} \]

Ответ: -⅓/4