39.25 Найдите целые корни многочлена и разложите его на множители: a) x³ - 4x² + x + 6; б) x⁴ - 5x - 6; B) x⁴ - 2x³ - 6x² + 5x + 2; г) х³ + 3x - 234. 39.26 Разложите многочлен на линейные множители: a) x³-3x2 - 6x + 8; б) х³ - 5x² + 3x + 9; в) х⁴ + 5x³ - 20x – 16; г) х² + 3x³ - 7x² - 27x - 18.

39.25

Разберемся с поиском целых корней многочлена и разложением его на множители. Логика такая: сначала находим целые корни (если они есть), а затем используем их для разложения многочлена на множители.

a) \(x^3 - 4x^2 + x + 6\)

Проверяем делители свободного члена (6): \(±1, ±2, ±3, ±6\).

• При \(x = -1\): \((-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\). Значит, \(x = -1\) – корень.

Делим многочлен на \((x + 1)\):

      x² - 5x + 6
x + 1 | x³ - 4x² +  x + 6
      x³ +  x²
      ----------
          -5x² +  x
          -5x² - 5x
          ---------
                 6x + 6
                 6x + 6
                 ------
                      0

Получаем \(x^2 - 5x + 6\). Разложим квадратный трехчлен:

\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)

Ответ: \((x + 1)(x - 2)(x - 3)\)

б) \(x^4 - 5x - 6\)

Проверяем делители свободного члена (-6): \(±1, ±2, ±3, ±6\).

• При \(x = -1\): \((-1)^4 - 5(-1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0\). Значит, \(x = -1\) – корень.
• При \(x = 2\): \((2)^4 - 5(2) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0\). Значит, \(x = 2\) – корень.

После деления столбиком на \((x + 1)\) и затем на \((x - 2)\) получим: \(x^2 + x + 3\). Этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицательный.

Ответ: \((x + 1)(x - 2)(x^2 + x + 3)\)

в) \(x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2\)

Проверяем делители свободного члена (2): \(±1, ±2\).

• При \(x = 1\): \((1)^4 - 2(1)^3 - 6(1)^2 + 5(1) + 2 = 1 - 2 - 6 + 5 + 2 = 0\). Значит, \(x = 1\) – корень.
• При \(x = -1\): \((-1)^4 - 2(-1)^3 - 6(-1)^2 + 5(-1) + 2 = 1 + 2 - 6 - 5 + 2 = -6\). Не корень.
• При \(x = -2\): \((-2)^4 - 2(-2)^3 - 6(-2)^2 + 5(-2) + 2 = 16 + 16 - 24 - 10 + 2 = 0\). Значит, \(x = -2\) – корень.

После деления столбиком на \((x - 1)\) и затем на \((x + 2)\) получим: \(x^2 - x - 1\). Корни этого квадратного трехчлена: \(x = \frac{1 ± \sqrt{5}}{2}\).

Ответ: \((x - 1)(x + 2)(x^2 - x - 1)\)

г) \(x^3 + 3x - 234\)

Проверяем делители числа 234: \(±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±13, ±18, ...\)

• При \(x = 6\): \((6)^3 + 3(6) - 234 = 216 + 18 - 234 = 0\). Значит, \(x = 6\) – корень.

Делим столбиком на \((x - 6)\):

      x² + 6x + 39
x - 6 | x³ + 0x² + 3x - 234
      x³ - 6x²
      ----------
           6x² + 3x
           6x² - 36x
           ---------
                39x - 234
                39x - 234
                ---------
                      0

Получаем \(x^2 + 6x + 39\). Этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицательный.

Ответ: \((x - 6)(x^2 + 6x + 39)\)

39.26

Теперь разложим многочлены на линейные множители. Тут наша цель – представить многочлен в виде произведения скобок, где каждая скобка имеет вид \((x - a)\), где \(a\) – корень многочлена.

a) \(x^3 - 3x^2 - 6x + 8\)

Проверяем делители свободного члена (8): \(±1, ±2, ±4, ±8\).

• При \(x = 1\): \((1)^3 - 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\). Значит, \(x = 1\) – корень.

Делим многочлен на \((x - 1)\):

      x² - 2x - 8
x - 1 | x³ - 3x² - 6x + 8
      x³ -  x²
      ----------
          -2x² - 6x
          -2x² + 2x
          ---------
              -8x + 8
              -8x + 8
              ------
                   0

Получаем \(x^2 - 2x - 8\). Разложим квадратный трехчлен:

\(x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)\)

Ответ: \((x - 1)(x + 2)(x - 4)\)

б) \(x^3 - 5x^2 + 3x + 9\)

Проверяем делители свободного члена (9): \(±1, ±3, ±9\).

• При \(x = -1\): \((-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) + 9 = -1 - 5 - 3 + 9 = 0\). Значит, \(x = -1\) – корень.

Делим многочлен на \((x + 1)\):

       x² - 6x + 9
x + 1 | x³ - 5x² + 3x + 9
       x³ +  x²
       ----------
           -6x² + 3x
           -6x² - 6x
           ---------
                9x + 9
                9x + 9
                ------
                    0

Получаем \(x^2 - 6x + 9\). Разложим квадратный трехчлен:

\(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\)

Ответ: \((x + 1)(x - 3)^2\)

в) \(x^4 + 5x^3 - 20x - 16\)

Проверяем делители свободного члена (-16): \(±1, ±2, ±4, ±8, ±16\).

• При \(x = -1\): \((-1)^4 + 5(-1)^3 - 20(-1) - 16 = 1 - 5 + 20 - 16 = 0\). Значит, \(x = -1\) – корень.
• При \(x = -4\): \((-2)^4 + 5(-2)^3 - 20(-2) - 16 = 16 - 40 + 40 - 16 = 0\). Значит, \(x = -2\) – корень.

После деления столбиком на \((x + 1)\) и затем на \((x+4)\) получим: \((x-2)(x+2)\).

Ответ: \((x+1)(x+4)(x-2)(x+2)\)

г) \(x^4 + 3x^3 - 7x^2 - 27x - 18\)

Проверяем делители свободного члена (-18): \(±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18\).

• При \(x = -1\): \((-1)^4 + 3(-1)^3 - 7(-1)^2 - 27(-1) - 18 = 1 - 3 - 7 + 27 - 18 = 0\). Значит, \(x = -1\) – корень.
• При \(x = -2\): \((-2)^4 + 3(-2)^3 - 7(-2)^2 - 27(-2) - 18 = 16 - 24 - 28 + 54 - 18 = 0\). Значит, \(x = -2\) – корень.

После деления столбиком на \((x + 1)\) и затем на \((x+2)\) получим: \((x+3)(x-3)\).

Ответ: \((x+1)(x+2)(x+3)(x-3)\)