Найдите трёхзначное число, все цифры которого различны, если известно, что оно чётное и сумма цифр равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно из таких чисел.

Решение:

Пусть искомое трёхзначное число состоит из цифр \( a \), \( b \) и \( c \). По условию, все цифры различны, число чётное, и сумма цифр равна их произведению: \( a + b + c = a \cdot b \cdot c \).

Так как число чётное, последняя цифра \( c \) должна быть чётной (0, 2, 4, 6, 8). Если \( c = 0 \), то \( a + b + 0 = a \cdot b \cdot 0 \), что даёт \( a + b = 0 \). Так как \( a \) и \( b \) — цифры, и они должны быть различны (и не равны \( c=0 \)), то \( a \) и \( b \) не могут быть одновременно нулями. Поэтому \( c \) не может быть 0.

Рассмотрим другие чётные цифры для \( c \).

Случай 1: \( c = 2 \).

Уравнение принимает вид: \( a + b + 2 = a \cdot b \cdot 2 \). Перепишем его как \( 2ab - a - b = 2 \).

Умножим обе части на 2: \( 4ab - 2a - 2b = 4 \).

Добавим 1 к обеим частям, чтобы разложить на множители: \( (2a - 1)(2b - 1) = 5 \).

Так как \( a \) и \( b \) — цифры от 1 до 9 (и различны, и не равны 2), то \( 2a - 1 \) и \( 2b - 1 \) — нечётные числа. Возможные пары множителей для 5: (1, 5) и (-1, -5).

• Если \( 2a - 1 = 1 \) и \( 2b - 1 = 5 \), то \( 2a = 2 \) => \( a = 1 \) и \( 2b = 6 \) => \( b = 3 \). Цифры 1, 3, 2 различны. Проверим: \( 1 + 3 + 2 = 6 \), \( 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6 \). Условие выполняется. Число может быть 132 или 312.
• Если \( 2a - 1 = 5 \) и \( 2b - 1 = 1 \), то \( a = 3 \) и \( b = 1 \). Получаем те же цифры.
• Если \( 2a - 1 = -1 \) и \( 2b - 1 = -5 \), то \( 2a = 0 \) => \( a = 0 \) (не подходит, так как первая цифра трёхзначного числа не может быть 0).

Случай 2: \( c = 4 \).

Уравнение: \( a + b + 4 = 4ab \). Перепишем: \( 4ab - a - b = 4 \).

Умножим на 4: \( 16ab - 4a - 4b = 16 \).

Добавим 1: \( (4a - 1)(4b - 1) = 17 \).

Так как 17 — простое число, возможные пары множителей: (1, 17).

• Если \( 4a - 1 = 1 \) и \( 4b - 1 = 17 \), то \( 4a = 2 \) => \( a = 0.5 \) (не подходит).

Случай 3: \( c = 6 \).

Уравнение: \( a + b + 6 = 6ab \). Перепишем: \( 6ab - a - b = 6 \).

Умножим на 6: \( 36ab - 6a - 6b = 36 \).

Добавим 1: \( (6a - 1)(6b - 1) = 37 \).

Так как 37 — простое число, возможные пары множителей: (1, 37).

• Если \( 6a - 1 = 1 \) и \( 6b - 1 = 37 \), то \( 6a = 2 \) => \( a = 1/3 \) (не подходит).

Случай 4: \( c = 8 \).

Уравнение: \( a + b + 8 = 8ab \). Перепишем: \( 8ab - a - b = 8 \).

Умножим на 8: \( 64ab - 8a - 8b = 64 \).

Добавим 1: \( (8a - 1)(8b - 1) = 65 \).

Возможные пары множителей для 65: (1, 65), (5, 13).

• Если \( 8a - 1 = 1 \) и \( 8b - 1 = 65 \), то \( 8a = 2 \) => \( a = 1/4 \) (не подходит).
• Если \( 8a - 1 = 5 \) и \( 8b - 1 = 13 \), то \( 8a = 6 \) => \( a = 6/8 = 3/4 \) (не подходит).

Единственный набор цифр, удовлетворяющий условию, — это 1, 3, 2.

Число должно быть трёхзначным, чётным, с различными цифрами. Цифра 2 — последняя, что делает число чётным.

Возможные числа: 132 и 312.

В ответе нужно указать какое-нибудь одно такое число.

Ответ: 132