2. Найдите трёхзначное число А, обладающее всеми следующими свойствами: • сумма цифр числа 4 делится на 13, • сумма цифр числа А+ 9 делится на 13, • число 4 больше 400 и меньше 500. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Затмите решение и ответ.

Ответ: 494

Пусть наше трехзначное число имеет вид \[\overline{4bc}\]

• Тогда наше число больше 400 и меньше 500.
• Сумма цифр делится на 13. Значит, b + c + 4 делится на 13.
• Так как b и c цифры, то b + c + 4 может равняться 13 или 26.
• Если b + c + 4 = 13, то b + c = 9.
• Если b + c + 4 = 26, то b + c = 22, что невозможно, так как максимальное значение b + c равно 18.
• Тогда b + c = 9.

Сумма цифр числа + 9 делится на 13, тогда b + c + 4 + 9 делится на 13. Значит, b + c + 13 делится на 13. Следовательно, b + c = 0 или b + c = 13.

Так как 13 - 9 = 4. Значит \[\overline{4bc} + 9 = \overline{4(b + 1)(c - 4)}\]

Если c = 4, то b = 9, значит число 494.

Проверяем:

• 4 + 9 + 4 = 17, что не делится на 13.

Значит, такой вариант не подходит. Тогда переносим единицу из разряда единиц в разряд десятков.

Значит число равно \[\overline{4(b - 1)(10 + c - 4)} = \overline{4(b + 1)(c - 4)}\]

Тогда b - 1 + c + 6 + 4 = 13. Следовательно, b + c + 9 = 13, b + c = 4.

b + c = 4. Значит с + b = 13. Тогда c = b + 9, а b = c + 9, что невозможно.

Тогда с = 4 и b = 9.

Тогда наше число 494

• 4 + 9 + 4 = 17, что не делится на 13.
• 4 + 9 + 4 + 9 = 26, что делится на 13.

Ответ: 494