Решение

Для нахождения точки минимума функции необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную к нулю и найти корни уравнения.
3. Определить знаки производной на интервалах, образованных корнями, и выбрать точку, в которой производная меняет знак с минуса на плюс.

1. Найдем производную функции:

$$y = x\sqrt{x} - 18x + 13 = x^{3/2} - 18x + 13$$

$$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 18 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 18$$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 18 = 0$$

$$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 18$$

$$\sqrt{x} = \frac{18 \cdot 2}{3} = 12$$

$$x = 12^2 = 144$$

3. Определим знаки производной на интервалах:

Рассмотрим интервалы (0; 144) и (144; +∞).

• Возьмем x = 100 из интервала (0; 144): $$y'(100) = \frac{3}{2}\sqrt{100} - 18 = \frac{3}{2} \cdot 10 - 18 = 15 - 18 = -3 < 0$$
• Возьмем x = 169 из интервала (144; +∞): $$y'(169) = \frac{3}{2}\sqrt{169} - 18 = \frac{3}{2} \cdot 13 - 18 = 19.5 - 18 = 1.5 > 0$$

Производная меняет знак с минуса на плюс в точке x = 144, следовательно, это точка минимума.

Ответ: 144