Найдите точку максимума функции \(y=-\frac{x^2+289}{x}\).

Область определения: \(x\ne0\).

Преобразуем функцию:

\(y=-\frac{x^2+289}{x}=-x-\frac{289}{x}\).

Для положительных значений \(x\) по неравенству AM-GM:

\(x+\frac{289}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{289}{x}}=34\).

Значит, \(y=-x-\frac{289}{x}\le-34\). Равенство достигается при \(x=\sqrt{289}=17\).

Тогда:

\(y(17)=-\frac{17^2+289}{17}=-\frac{289+289}{17}=-34\).

При отрицательных \(x\) функция не ограничена сверху, поэтому глобального максимума на всей области определения нет. На ветви \(x>0\) максимум достигается в найденной точке.

Ответ: точка максимума правой ветви графика — \((17;-34)\); на всей области определения функция максимума не имеет.