1. Найдите ТН, если ТН || NP. 2. Найдите ВС. 3. Найдите CF, если CDEF - трапеция. 4.АМ и ВК - медианы треугольника АВС. Определите Бид четырёхугольника АВМК и найдите его периметр, если AB=14, BC-12, AC = 18. 5. На рисунке треугольник МОР - равнобедренный, е. МК И ОН - высоты. Докажите, что OP-

1. Рассмотрим треугольники ΔNTS и ΔNPR. Так как TH || NP, то ΔNTS ~ ΔNPR (по двум углам). Следовательно, стороны пропорциональны: \[\frac{TH}{NP} = \frac{TS}{PR}\] Подставляем известные значения: \[\frac{TH}{25} = \frac{12}{8 + 12}\] \[\frac{TH}{25} = \frac{12}{20}\] \[TH = \frac{12 \cdot 25}{20} = \frac{300}{20} = 15\]

Ответ: TH = 15

2. Рассмотрим треугольники ΔBOC и ΔKOM. Дано: BO = 6, OC = 8, OK = 18, OM = 12. Проверим пропорциональность сторон: \[\frac{BO}{OM} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\] \[\frac{OC}{OK} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\] Так как углы ∠BOC и ∠KOM равны как вертикальные, и стороны, образующие эти углы, пропорциональны, то ΔBOC ~ ΔKOM (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, стороны BC и KM пропорциональны: \[\frac{BC}{KM} = \frac{1}{2}\] \[BC = \frac{KM}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Ответ: BC = 9

3. Рассмотрим трапецию CDEF. Так как это трапеция, то CD || EF. Треугольники ΔDOC и ΔEOF подобны (по двум углам). Следовательно, стороны пропорциональны: \[\frac{CF}{DF} = \frac{DE}{EF}\] Пусть CF = x, тогда DF = DC - x. Из рисунка DE = 12, EF = 12, DC = 8. \[\frac{x}{8-x} = \frac{12}{12} = 1\] \[x = 8 - x\] \[2x = 8\] \[x = 4\]

Ответ: CF = 4

4. Дано: АМ и ВК - медианы треугольника ABC, AB = 14, BC = 12, AC = 18. Медианы делят стороны пополам, следовательно: AM = MC = AC/2 = 18/2 = 9 BK = KC = BC/2 = 12/2 = 6 Рассмотрим четырехугольник ABMK. Его стороны: AB = 14, BM = BC/2 = 6, MK - средняя линия треугольника ABC, MK = AC/2 = 9, AK = AC/2 = 9. Периметр четырехугольника ABMK: P = AB + BM + MK + AK = 14 + 6 + 9 + 9 = 38 Четырехугольник ABMK - трапеция, так как MK || AB.

Ответ: Периметр ABMK = 38, ABMK - трапеция.

5. В равнобедренном треугольнике MOP с MK и OH высотами, опущенными на боковые стороны, требуется доказать, что MK = OH. Рассмотрим треугольники MKO и OНP. Угол OMK = углу POH (треугольник равнобедренный). Угол MKO = углу OHP = 90 градусов. МО = ОР (боковые стороны равнобедренного треугольника). Следовательно, треугольники MKO и ОНР равны по гипотенузе и острому углу. А значит, MK = OH (как соответствующие элементы равных треугольников).

Ответ: MK = OH (что и требовалось доказать)