649. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: a) 3; -6; ... ; б) 54; 36; ... ; в) -32; -16; ... ; г) 1; -1/2; ... .

a) Дана геометрическая прогрессия 3; -6; ... . Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{-6}{3} = -2$$

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

$$S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{3(1 - (-2)^6)}{1 - (-2)} = \frac{3(1 - 64)}{3} = 1 - 64 = -63$$

Ответ: -63

---

б) Дана геометрическая прогрессия 54; 36; ... . Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$$

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

$$S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{54(1 - (\frac{2}{3})^6)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54(1 - \frac{64}{729})}{\frac{1}{3}} = 54 \cdot 3 \cdot (1 - \frac{64}{729}) = 162 \cdot \frac{729 - 64}{729} = 162 \cdot \frac{665}{729} = \frac{162 \cdot 665}{729} = \frac{2 \cdot 665}{9} = \frac{1330}{9} = 147 \frac{7}{9}$$

Ответ: $$147 \frac{7}{9}$$

---

в) Дана геометрическая прогрессия -32; -16; ... . Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{-16}{-32} = \frac{1}{2}$$

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

$$S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{-32(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = -32 \cdot 2 \cdot (1 - \frac{1}{64}) = -64 \cdot \frac{64 - 1}{64} = -63$$

Ответ: -63

---

г) Дана геометрическая прогрессия 1; -1/2; ... . Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$$

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

$$S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{1(1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{64 - 1}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} = \frac{21}{32}$$

Ответ: $$\frac{21}{32}$$