Контрольные задания > 620. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), если: a) b₁ = 72,9, q = 1,5; 6) 6₅ = 16 9 , q = 2 3 ; B) b₃ = 64, q = 1 2 ; r) b₄ = 81, q = - 1 3 .
Вопрос:

620. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), если: a) b₁ = 72,9, q = 1,5; 6) 6₅ = 16 9 , q = 2 3 ; B) b₃ = 64, q = 1 2 ; r) b₄ = 81, q = - 1 3 .

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Сначала найдем первый член прогрессии и знаменатель, затем используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

a) b₁ = 72.9, q = 1.5

  • Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]
  • Подставим значения b₁ = 72.9, q = 1.5 и n = 7: \[ S_7 = \frac{72.9(1.5^7 - 1)}{1.5 - 1} \]
  • Вычислим 1.5⁷: \[ 1.5^7 = 17.0859375 \]
  • Подставим это значение в формулу: \[ S_7 = \frac{72.9(17.0859375 - 1)}{0.5} = \frac{72.9(16.0859375)}{0.5} \]
  • Вычислим числитель: \[ 72.9 \cdot 16.0859375 = 1172.7626953125 \]
  • Разделим на 0.5: \[ S_7 = \frac{1172.7626953125}{0.5} = 2345.525390625 \]

Ответ: S₇ ≈ 2345.53

б) b₅ = 16/9, q = 2/3

  • Найдем первый член прогрессии, используя формулу: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
  • Тогда: \[ b_5 = b_1 \cdot q^4 \]
  • Выразим b₁: \[ b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{16/9}{(2/3)^4} = \frac{16/9}{16/81} = \frac{16}{9} \cdot \frac{81}{16} = 9 \]
  • Теперь найдем S₇: \[ S_7 = \frac{9((2/3)^7 - 1)}{2/3 - 1} = \frac{9(128/2187 - 1)}{-1/3} = \frac{9(-2059/2187)}{-1/3} \]
  • Продолжим вычисления: \[ S_7 = 9 \cdot \frac{2059}{2187} \cdot 3 = \frac{9 \cdot 2059 \cdot 3}{2187} = \frac{556 \cdot 3}{243} = \frac{2059}{81} \approx 25.42 \]

Ответ: S₇ ≈ 25.42

в) b₃ = 64, q = 1/2

  • Найдем первый член прогрессии, используя формулу: \[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \]
  • Выразим b₁: \[ b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{64}{(1/2)^2} = \frac{64}{1/4} = 64 \cdot 4 = 256 \]
  • Теперь найдем S₇: \[ S_7 = \frac{256((1/2)^7 - 1)}{1/2 - 1} = \frac{256(1/128 - 1)}{-1/2} = \frac{256(-127/128)}{-1/2} \]
  • Продолжим вычисления: \[ S_7 = 256 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = 2 \cdot 127 \cdot 2 = 508 \]

Ответ: S₇ = 508

г) b₄ = 81, q = -1/3

  • Найдем первый член прогрессии, используя формулу: \[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \]
  • Выразим b₁: \[ b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{81}{(-1/3)^3} = \frac{81}{-1/27} = 81 \cdot (-27) = -2187 \]
  • Теперь найдем S₇: \[ S_7 = \frac{-2187((-1/3)^7 - 1)}{-1/3 - 1} = \frac{-2187(-1/2187 - 1)}{-4/3} = \frac{-2187(-2188/2187)}{-4/3} \]
  • Продолжим вычисления: \[ S_7 = -2187 \cdot \frac{2188}{2187} \cdot \frac{-3}{4} = -2188 \cdot \frac{-3}{4} = \frac{2188 \cdot 3}{4} = \frac{6564}{4} = 1641 \]

Ответ: S₇ = 1641

ГДЗ по фото 📸