Найдите сумму корней уравнения \(\sqrt{x^2+x+4}=4\)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (\sqrt{x^2+x+4})^2 = 4^2 \)
2. Получим: \( x^2 + x + 4 = 16 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + x + 4 - 16 = 0 \)
4. Упростим: \( x^2 + x - 12 = 0 \)
5. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
7. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
8. Проверим корни в исходном уравнении:
• Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3^2+3+4} = \sqrt{9+3+4} = \sqrt{16} = 4 \). Верно.
• Для \( x = -4 \): \( \sqrt{(-4)^2+(-4)+4} = \sqrt{16-4+4} = \sqrt{16} = 4 \). Верно.
9. Найдём сумму корней: \( x_1 + x_2 = 3 + (-4) = -1 \).

Ответ: -1