591 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) BC = 8, AB = 17; 6) BC = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, АВ = 25.

a) Дано: прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, BC = 8, AB = 17.

Найти: sin A, cos A, tg A, sin B, cos B, tg B.

Решение:

1. По теореме Пифагора найдем AC:
   $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$
2. Синус угла А равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   $$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$$
3. Косинус угла А равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$$
4. Тангенс угла А равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$$
5. Синус угла В равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   $$sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$$
6. Косинус угла В равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   $$cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$$
7. Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   $$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$$

Ответ: $$sin A = \frac{8}{17}$$, $$cos A = \frac{15}{17}$$, $$tg A = \frac{8}{15}$$, $$sin B = \frac{15}{17}$$, $$cos B = \frac{8}{17}$$, $$tg B = \frac{15}{8}$$

---

б) Дано: прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, BC = 21, AC = 20.

Найти: sin A, cos A, tg A, sin B, cos B, tg B.

Решение:

1. По теореме Пифагора найдем AB:
   $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$
2. Синус угла А равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   $$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$$
3. Косинус угла А равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$
4. Тангенс угла А равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}$$
5. Синус угла В равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   $$sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$
6. Косинус угла В равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   $$cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$$
7. Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   $$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$$

Ответ: $$sin A = \frac{21}{29}$$, $$cos A = \frac{20}{29}$$, $$tg A = \frac{21}{20}$$, $$sin B = \frac{20}{29}$$, $$cos B = \frac{21}{29}$$, $$tg B = \frac{20}{21}$$

---

в) Дано: прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, BC = 1, AC = 2.

Найти: sin A, cos A, tg A, sin B, cos B, tg B.

Решение:

1. По теореме Пифагора найдем AB:
   $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$
2. Синус угла А равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   $$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
3. Косинус угла А равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
4. Тангенс угла А равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$$
5. Синус угла В равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   $$sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
6. Косинус угла В равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   $$cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
7. Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   $$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2$$

Ответ: $$sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$$, $$cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$, $$tg A = \frac{1}{2}$$, $$sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$, $$cos B = \frac{\sqrt{5}}{5}$$, $$tg B = 2$$

---

г) Дано: прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, АС = 24, АВ = 25.

Найти: sin A, cos A, tg A, sin B, cos B, tg B.

Решение:

1. По теореме Пифагора найдем BC:
   $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$$
2. Синус угла А равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   $$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$$
3. Косинус угла А равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$$
4. Тангенс угла А равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}$$
5. Синус угла В равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   $$sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$$
6. Косинус угла В равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
   $$cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$$
7. Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
   $$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}$$

Ответ: $$sin A = \frac{7}{25}$$, $$cos A = \frac{24}{25}$$, $$tg A = \frac{7}{24}$$, $$sin B = \frac{24}{25}$$, $$cos B = \frac{7}{25}$$, $$tg B = \frac{24}{7}$$