Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) BC = 8, AB = 17; б) ВС = 21, AC = 20; в) ВС = 1, AC = 2; г) АС = 24, AB = 25.

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобится теорема Пифагора, чтобы найти длину третьей стороны (гипотенузы или катета), а затем определения тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс).

Теорема Пифагора: a² + b² = c², где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Тригонометрические функции для острого угла в прямоугольном треугольнике:

• Синус (sin): отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус (cos): отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс (tg): отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

а) BC = 8, AB = 17

1. Находим AC:
   По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²
   AC² + 8² = 17²
   AC² + 64 = 289
   AC² = 289 - 64
   AC² = 225
   AC = √225 = 15
2. Находим тригонометрические функции для угла А:
   sin A = BC / AB = 8 / 17
   cos A = AC / AB = 15 / 17
   tg A = BC / AC = 8 / 15
3. Находим тригонометрические функции для угла В:
   sin B = AC / AB = 15 / 17
   cos B = BC / AB = 8 / 17
   tg B = AC / BC = 15 / 8

б) ВС = 21, AC = 20

1. Находим AB:
   По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²
   20² + 21² = AB²
   400 + 441 = AB²
   AB² = 841
   AB = √841 = 29
2. Находим тригонометрические функции для угла А:
   sin A = BC / AB = 21 / 29
   cos A = AC / AB = 20 / 29
   tg A = BC / AC = 21 / 20
3. Находим тригонометрические функции для угла В:
   sin B = AC / AB = 20 / 29
   cos B = BC / AB = 21 / 29
   tg B = AC / BC = 20 / 21

в) ВС = 1, AC = 2

1. Находим AB:
   По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²
   2² + 1² = AB²
   4 + 1 = AB²
   AB² = 5
   AB = √5
2. Находим тригонометрические функции для угла А:
   sin A = BC / AB = 1 / √5 = √5 / 5
   cos A = AC / AB = 2 / √5 = 2√5 / 5
   tg A = BC / AC = 1 / 2
3. Находим тригонометрические функции для угла В:
   sin B = AC / AB = 2 / √5 = 2√5 / 5
   cos B = BC / AB = 1 / √5 = √5 / 5
   tg B = AC / BC = 2 / 1 = 2

г) АС = 24, AB = 25

1. Находим BC:
   По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²
   24² + BC² = 25²
   576 + BC² = 625
   BC² = 625 - 576
   BC² = 49
   BC = √49 = 7
2. Находим тригонометрические функции для угла А:
   sin A = BC / AB = 7 / 25
   cos A = AC / AB = 24 / 25
   tg A = BC / AC = 7 / 24
3. Находим тригонометрические функции для угла В:
   sin B = AC / AB = 24 / 25
   cos B = BC / AB = 7 / 25
   tg B = AC / BC = 24 / 7

Ответ:

• а) sin A = 8/17, cos A = 15/17, tg A = 8/15; sin B = 15/17, cos B = 8/17, tg B = 15/8
• б) sin A = 21/29, cos A = 20/29, tg A = 21/20; sin B = 20/29, cos B = 21/29, tg B = 20/21
• в) sin A = 1/√5 (√5/5), cos A = 2/√5 (2√5/5), tg A = 1/2; sin B = 2/√5 (2√5/5), cos B = 1/√5 (√5/5), tg B = 2
• г) sin A = 7/25, cos A = 24/25, tg A = 7/24; sin B = 24/25, cos B = 7/25, tg B = 24/7