Контрольные задания
Вопрос:

Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника ABC с прямым углом С, если: а) BC = 8, AB = 17; б) BC = 15, AB = 17; в) BC = 1, AC = 2; г) AC = 24, AB = 25.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение:

Для нахождения синуса, косинуса и тангенса углов А и В в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, будем использовать определения:

  • \( \sin A = \frac{BC}{AB} \) (противолежащий катет / гипотенуза)
  • \( \cos A = \frac{AC}{AB} \) (прилежащий катет / гипотенуза)
  • \( \tan A = \frac{BC}{AC} \) (противолежащий катет / прилежащий катет)
  • \( \sin B = \frac{AC}{AB} \)
  • \( \cos B = \frac{BC}{AB} \)
  • \( \tan B = \frac{AC}{BC} \)

Также будем использовать теорему Пифагора \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \) для нахождения неизвестных сторон.

а) BC = 8, AB = 17

  1. Найдем AC: \( AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \)
  2. \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \)
  3. \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \)
  4. \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \)
  5. \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \)
  6. \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \)
  7. \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8} \)

б) BC = 15, AB = 17

  1. Найдем AC: \( AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \)
  2. \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{17} \)
  3. \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17} \)
  4. \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{15}{8} \)
  5. \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17} \)
  6. \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{17} \)
  7. \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{15} \)

в) BC = 1, AC = 2

  1. Найдем AB: \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
  2. \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)
  3. \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
  4. \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} \)
  5. \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
  6. \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)
  7. \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2 \)

г) AC = 24, AB = 25

  1. Найдем BC: \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7 \)
  2. \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} \)
  3. \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} \)
  4. \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \)
  5. \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} \)
  6. \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} \)
  7. \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7} \)

Ответ: а) \( \sin A = \frac{8}{17}, \cos A = \frac{15}{17}, \tan A = \frac{8}{15} \); \( \sin B = \frac{15}{17}, \cos B = \frac{8}{17}, \tan B = \frac{15}{8} \). б) \( \sin A = \frac{15}{17}, \cos A = \frac{8}{17}, \tan A = \frac{15}{8} \); \( \sin B = \frac{8}{17}, \cos B = \frac{15}{17}, \tan B = \frac{8}{15} \). в) \( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}, \cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \tan A = \frac{1}{2} \); \( \sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \cos B = \frac{\sqrt{5}}{5}, \tan B = 2 \). г) \( \sin A = \frac{7}{25}, \cos A = \frac{24}{25}, \tan A = \frac{7}{24} \); \( \sin B = \frac{24}{25}, \cos B = \frac{7}{25}, \tan B = \frac{24}{7} \).

📄 Все ответы📸 Решить моё задание