Найдите sinα, если cosα = 24/25, α ∈ (3π/2; 2π).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2α + \cos^2α = 1 \).

• Подставим известное значение \( \cosα \): \( \sin^2α + \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 \)
• Вычислим квадрат косинуса: \( \sin^2α + \frac{576}{625} = 1 \)
• Найдем \( \sin^2α \): \( \sin^2α = 1 - \frac{576}{625} \)
• Приведем к общему знаменателю: \( \sin^2α = \frac{625 - 576}{625} \)
• Вычислим разность: \( \sin^2α = \frac{49}{625} \)
• Извлечем квадратный корень: \( \sinα = ±\sqrt{\frac{49}{625}} \)
• Получим два возможных значения: \( \sinα = ±\frac{7}{25} \).

Теперь определим знак синуса, используя условие \( α ∈ \left(\frac{3π}{2}; 2π\right) \). Этот интервал соответствует четвертому квадранту. В четвертом квадранте синус принимает отрицательные значения.

• Следовательно, \( \sinα = -\frac{7}{25} \).

Ответ: \( -\frac{7}{25} \)