Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если шестой её член равен 6, а восьмой равен 22.

Решение:

В арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянной разностью \( d \). Формула n-го члена: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Из условия задачи мы знаем:

• Шестой член: \( a_6 = 6 \)
• Восьмой член: \( a_8 = 22 \)

Запишем эти члены через первый член \( a_1 \) и разность \( d \):

• \( a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d = 6 \)
• \( a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 22 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнени:

\( \begin{cases} a_1 + 5d = 6 \\ a_1 + 7d = 22 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти \( d \):

\( (a_1 + 7d) - (a_1 + 5d) = 22 - 6 \)

\( 2d = 16 \)

\( d = \frac{16}{2} = 8 \)

Теперь, когда мы знаем разность \( d \), мы можем найти седьмой член прогрессии. Седьмой член \( a_7 \) находится между шестым \( a_6 \) и восьмым \( a_8 \) и равен их среднему арифметическому:

\( a_7 = \frac{a_6 + a_8}{2} = \frac{6 + 22}{2} = \frac{28}{2} = 14 \)

Или, можно найти \( a_1 \) из первого уравнения: \( a_1 = 6 - 5d = 6 - 5 · 8 = 6 - 40 = -34 \).

Затем найти \( a_7 \) по формуле: \( a_7 = a_1 + (7-1)d = -34 + 6 · 8 = -34 + 48 = 14 \).

Ответ: 14.