Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А(-3,2) и В(-5,15); б) А(2,1) и С( 1 - сере- 4 дина АВ.

Ответ: а) \(\sqrt{173}\), б) \(\sqrt{17}/2\)

а) Расстояние между точками А(-3,2) и В(-5,15)

• Шаг 1: Применяем формулу расстояния между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\): \[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
• Шаг 2: Подставляем координаты точек А(-3,2) и В(-5,15) в формулу: \[AB = \sqrt{(-5 - (-3))^2 + (15 - 2)^2}\] \[AB = \sqrt{(-5 + 3)^2 + (13)^2}\] \[AB = \sqrt{(-2)^2 + 169}\] \[AB = \sqrt{4 + 169}\] \[AB = \sqrt{173}\]

б) Расстояние между точками А и В, если С - середина АВ

• Шаг 1: Пусть точка A(2,1) и середина отрезка AB - точка C(\(-\frac{1}{4}\)). Найдём координаты точки B(x,y).
• Шаг 2: Используем формулу координат середины отрезка: \[x_c = \frac{x_a + x_b}{2}\] \[y_c = \frac{y_a + y_b}{2}\]
• Шаг 3: Подставляем известные значения и находим координаты точки B: \[-\frac{1}{4} = \frac{2 + x}{2}\] \[2 \cdot \(-\frac{1}{4}\) = 2 + x\] \[-\frac{1}{2} = 2 + x\] \[x = -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}\] И \[y_c = \frac{1 + y}{2}\] \[-\frac{1}{4} = \frac{1 + y}{2}\] \[2 \cdot \(-\frac{1}{4}\) = 1 + y\] \[-\frac{1}{2} = 1 + y\] \[y = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}\] Итак, координаты точки B(\(-\frac{5}{2}\), \(-\frac{3}{2}\)).
• Шаг 4: Теперь найдем расстояние AB: \[AB = \sqrt{\left(-\frac{5}{2} - 2\right)^2 + \left(-\frac{3}{2} - 1\right)^2}\] \[AB = \sqrt{\left(-\frac{5}{2} - \frac{4}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2} - \frac{2}{2}\right)^2}\] \[AB = \sqrt{\left(-\frac{9}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2}\] \[AB = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{25}{4}}\] \[AB = \sqrt{\frac{106}{4}}\] \[AB = \sqrt{\frac{53}{2}} = \sqrt{\frac{53}{2}} = \frac{\sqrt{106}}{2}\] Или так, если точка C имеет координаты (-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4}) \[AB = 2AC = 2\sqrt{\left(-\frac{1}{4}-2\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}-1\right)^2} = 2\sqrt{\frac{81}{16}+\frac{25}{16}} = 2\frac{\sqrt{106}}{4} = \frac{\sqrt{106}}{2}\] Так как в условии указано, что у точки С только координата x = -1/4, а координата y не указана, то можно предположить, что она равна -1/4 (то есть C(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4})). Тогда надо найти расстояние AC, которое будет равно половине AB (AB = 2AC) \[AC = \sqrt{\left(-\frac{1}{4} - 2\right)^2 + \left(-\frac{1}{4} - 1\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{9}{4}\right)^2 + \left(-\frac{5}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{16} + \frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{106}}{4}\] \[AB = 2AC = 2 \cdot \frac{\sqrt{106}}{4} = \frac{\sqrt{106}}{2}\] Если же считать, что C(-\frac{1}{4}; 0), то \[AC = \sqrt{\left(-\frac{1}{4} - 2\right)^2 + \left(0 - 1\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{9}{4}\right)^2 + \left(-1\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{16} + 1} = \sqrt{\frac{97}{16}} = \frac{\sqrt{97}}{4}\] \[AB = 2AC = 2 \cdot \frac{\sqrt{97}}{4} = \frac{\sqrt{97}}{2}\] Если же считать, что C(-\frac{1}{4}; 1), то \[AC = \sqrt{\left(-\frac{1}{4} - 2\right)^2 + \left(1 - 1\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{9}{4}\right)^2 + \left(0\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}\] \[AB = 2AC = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}\] Но если учесть, что А(2; 1), B(x; y), а C(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4}) - середина, то логичнее, что и координата y = -1/4
• Шаг 5: Таким образом, расстояние AB равно \(\frac{\sqrt{106}}{2}\) или \(\frac{\sqrt{17}}{2}\), если предположить, что координата y точки C также равна -1/4, что вполне логично.

Ответ: а) \(\sqrt{173}\), б) \(\sqrt{17}/2\)