Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ AC ромба равна 14, а тангенс угла BCA равен 24/7.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда AC = 14, значит, OC = 7. В прямоугольном треугольнике BOC, tg(BCA) = OB/OC. Следовательно, OB = OC * tg(BCA) = 7 * (24/7) = 24. Радиус вписанной окружности равен высоте ромба, деленной на 2. Высота ромба равна удвоенной площади, деленной на сторону. Площадь ромба равна (1/2) * AC * BD = (1/2) * 14 * (2 * OB) = 7 * 2 * 24 = 336. Сторона ромба AB = sqrt(OC^2 + OB^2) = sqrt(7^2 + 24^2) = sqrt(49 + 576) = sqrt(625) = 25. Высота ромба h = 2 * Area / side = 2 * 336 / 25 = 672 / 25. Радиус вписанной окружности r = h / 2 = (672 / 25) / 2 = 336 / 25 = 13.44.