Найдите РА, если AB = 7, DC = PD = 9, PB < PA.

По свойству секущих, проведенных из одной точки к окружности, имеем: $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$.
Из условия $$PD = 9$$ и $$DC = 9$$, следовательно, $$PC = PD + DC = 9 + 9 = 18$$.
Подставляем известные значения: $$PA \cdot PB = 18 \cdot 9 = 162$$.
Также, $$PB = PA - AB = PA - 7$$.
Подставляем $$PB$$ в уравнение: $$PA \cdot (PA - 7) = 162$$.
Решаем квадратное уравнение: $$PA^2 - 7PA - 162 = 0$$.
Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем $$PA = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(1)(-162)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 648}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{697}}{2}$$.
Так как $$PA$$ должно быть положительным, $$PA = \frac{7 + \sqrt{697}}{2}$$.
Проверяем условие $$PB < PA$$: $$PB = PA - 7 = \frac{7 + \sqrt{697}}{2} - 7 = \frac{7 + \sqrt{697} - 14}{2} = \frac{\sqrt{697} - 7}{2}$$.
Так как $$\sqrt{697} > 7$$, $$PB$$ положительно. И $$PB < PA$$ выполняется.
Ответ: $$PA = \frac{7 + \sqrt{697}}{2}$$