Найдите произведение наименьшего целого положительного решения на наибольшее целое отрицательное решение неравенства 3·(1/9)ˣ - 10·(1/3)ˣ + 3 > 0.

Решение:

Введем замену переменной. Пусть \( y = (1/3)^x \). Тогда \( (1/9)^x = ((1/3)^2)^x = (1/3)^{2x} = ((1/3)^x)^2 = y^2 \).

Неравенство примет вид:

\[ 3y^2 - 10y + 3 > 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 3y^2 - 10y + 3 = 0 \):

\[ y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \]

\( y_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

\( y_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \)

Таким образом, неравенство \( 3y^2 - 10y + 3 > 0 \) выполняется при \( y < 1/3 \) или \( y > 3 \).

Вернемся к замене \( y = (1/3)^x \):

1. Случай \( (1/3)^x < 1/3 \): \( (1/3)^x < (1/3)^1 \). Так как основание степени \( 1/3 < 1 \), то при снятии степени знак неравенства меняется: \( x > 1 \).
2. Случай \( (1/3)^x > 3 \): \( (1/3)^x > 3^1 \). Представим \( 3 \) как \( (1/3)^{-1} \): \( (1/3)^x > (1/3)^{-1} \). Так как основание степени \( 1/3 < 1 \), то при снятии степени знак неравенства меняется: \( x < -1 \).

Итак, решениями неравенства являются \( x < -1 \) или \( x > 1 \).

Наименьшее целое положительное решение: \( x = 2 \).

Наибольшее целое отрицательное решение: \( x = -2 \).

Произведение наименьшего целого положительного решения на наибольшее целое отрицательное решение: \( 2 \cdot (-2) = -4 \).

Ответ: -4