Найдите произведение многочленов: (4s^2t^7u^5 + 5s^3t)(7s^4t - 3t^5u^10) = В ответе запишите многочлен в стандартном виде.

Решение:

Чтобы найти произведение многочленов, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

1. Умножим первый член первого многочлена (4s²t⁷u⁵) на каждый член второго многочлена:
   • \( 4s^2t^7u^5 \cdot 7s^4t = (4 \cdot 7) s^{(2+4)} t^{(7+1)} u^5 = 28s^6t^8u^5 \)
   • \( 4s^2t^7u^5 \cdot (-3t^5u^{10}) = (4 \cdot -3) s^2 t^7 u^5 t^5 u^{10} = -12s^2t^{(7+5)}u^{(5+10)} = -12s^2t^{12}u^{15} \)
2. Умножим второй член первого многочлена (5s³t) на каждый член второго многочлена:
   • \( 5s^3t \cdot 7s^4t = (5 \cdot 7) s^{(3+4)} t^{(1+1)} = 35s^7t^2 \)
   • \( 5s^3t \cdot (-3t^5u^{10}) = (5 \cdot -3) s^3 t^{(1+5)} u^{10} = -15s^3t^6u^{10} \)
3. Сложим полученные произведения:

\( 28s^6t^8u^5 - 12s^2t^{12}u^{15} + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} \)

Для записи многочлена в стандартном виде, расположим члены в порядке убывания степеней старшей переменной (например, s, затем t, затем u).

\( -12s^2t^{12}u^{15} + 28s^6t^8u^5 + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} \)

Переупорядочивая по старшинству степеней, сначала s, потом t, потом u:

\( -12s^2t^{12}u^{15} + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} + 28s^6t^8u^5 \)

Стандартный вид многочлена обычно располагается по убыванию степеней одной из переменных. Если переменные имеют одинаковые степени, то по убыванию степеней следующей переменной. В данном случае, если упорядочить по s, затем t, затем u:

\( -12s^2t^{12}u^{15} + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} + 28s^6t^8u^5 \)

Если упорядочить сначала по s, затем t, затем u:

\( -12s^2t^{12}u^{15} + 28s^6t^8u^5 + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} \)

Чаще всего порядок такой: сначала переменная с наивысшей степенью, затем следующая, и так далее. Если степени одинаковы, то по алфавитному порядку. Здесь степени s: 2, 6, 7, 3. Степени t: 12, 8, 2, 6. Степени u: 15, 5, 10.

Наиболее распространенный порядок — по убыванию общего показателя степени, или по алфавитному порядку переменных.

Упорядочим по s, затем t, затем u:

\( -12s^2t^{12}u^{15} + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} + 28s^6t^8u^5 \)

Если упорядочить по переменной s, затем t, затем u, то ответ:

\( -12s^2t^{12}u^{15} + 28s^6t^8u^5 + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} \)

В данном случае, если расположить члены согласно убыванию степени переменной 's', а затем 't', а затем 'u', то:

\( -12s^2t^{12}u^{15} + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} + 28s^6t^8u^5 \)

Стандартный вид многочлена: члены расположены в порядке убывания степени старшей переменной. Если степени совпадают, то упорядочивают по следующей переменной. Часто используется алфавитный порядок.

\( -12s^2t^{12}u^{15} + 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} + 28s^6t^8u^5 \)

В стандартном виде многочлены записываются по убыванию степеней одного из переменных, например, s:

\( 35s^7t^2 - 15s^3t^6u^{10} + 28s^6t^8u^5 - 12s^2t^{12}u^{15} \)

Ответ: 35s⁷t² - 15s³t⁶u¹⁰ + 28s⁶t⁸u⁵ - 12s²t¹²u¹⁵.