4.225. Найдите, при каком значении переменной значения выражений будут последовательными членами геометричес- кой прогрессии: а) 4; х − 5 и 7 - 2x; 6) 3x-4; x + 2 и х + 6. 2

а) 4; x - 5 и 7 - 2x

Для того, чтобы числа 4, x - 5 и 7 - 2x были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо выполнение следующего условия:

\[\frac{x-5}{4} = \frac{7-2x}{x-5}\]

Решаем уравнение:

\[(x-5)^2 = 4(7-2x)\] \[x^2 - 10x + 25 = 28 - 8x\] \[x^2 - 2x - 3 = 0\]

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

\[D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1\]

Проверяем значения:

• При x = 3: числа 4, -2, 1.25 (не являются последовательными членами геометрической прогрессии)
• При x = -1: числа 4, -6, 9 (являются последовательными членами геометрической прогрессии)

Ответ: x = -1

б) 3x - 4; x + 2 и x + 6

Для того, чтобы числа 3x - 4, x + 2 и x + 6 были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо выполнение следующего условия:

\[\frac{x+2}{3x-4} = \frac{x+6}{x+2}\]

Решаем уравнение:

\[(x+2)^2 = (3x-4)(x+6)\] \[x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 18x - 4x - 24\] \[2x^2 + 10x - 28 = 0\] \[x^2 + 5x - 14 = 0\]

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

\[D = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81\] \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-5 + 9}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-5 - 9}{2} = -7\]

Проверяем значения:

• При x = 2: числа 2, 4, 8 (являются последовательными членами геометрической прогрессии)
• При x = -7: числа -25, -5, -1 (являются последовательными членами геометрической прогрессии)

Ответ: x = 2 и x = -7