Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна 26.

Решение:

Для нахождения площади треугольника, зная две стороны и медиану, проведённую к третьей стороне, используем формулу:

\( S = \frac{1}{2} \sqrt{4a^2c^2 - (a^2+c^2-b^2)^2} \), где \( a \) и \( c \) — известные стороны, \( b \) — медиана, проведённая к третьей стороне. В данном случае, \( a = 27 \), \( c = 29 \), \( b = 26 \).

Однако, эта формула предназначена для нахождения площади через две стороны и угол между ними, или через три стороны (формула Герона). Для нашей задачи лучше воспользоваться теоремой о медиане:

\( m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \), где \( m_c \) — медиана к стороне \( c \).

В нашем случае, стороны равны \( a=27 \) и \( c=29 \), а медиана к третьей стороне (которую мы обозначим \( b \)) равна \( m_b = 26 \).

Используем другую формулу, связывающую стороны треугольника и медианы:

\( 4m_b^2 = 2a^2 + 2c^2 - b^2 \)

Подставим известные значения:

\( 4 · (26)^2 = 2 · (27)^2 + 2 · (29)^2 - b^2 \)

\( 4 · 676 = 2 · 729 + 2 · 841 - b^2 \)

\( 2704 = 1458 + 1682 - b^2 \)

\( 2704 = 3140 - b^2 \)

\( b^2 = 3140 - 2704 \)

\( b^2 = 436 \)

\( b = \sqrt{436} \approx 20.88 \)

Теперь, когда мы знаем все три стороны треугольника: \( a = 27 \), \( c = 29 \), \( b = \sqrt{436} \), мы можем найти площадь по формуле Герона:

\( s = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где \( p \) — полупериметр.

\( p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{27 + \sqrt{436} + 29}{2} = \frac{56 + \sqrt{436}}{2} = 28 + \frac{\sqrt{436}}{2} = 28 + \sqrt{109} \)

\( p – a = 28 + \sqrt{109} - 27 = 1 + \sqrt{109} \)

\( p – b = 28 + \sqrt{109} - \sqrt{436} = 28 + \sqrt{109} - 2\sqrt{109} = 28 - \sqrt{109} \)

\( p – c = 28 + \sqrt{109} - 29 = -1 + \sqrt{109} \)

\( S^2 = (28 + \sqrt{109})(1 + \sqrt{109})(28 - \sqrt{109})(-1 + \sqrt{109}) \)

\( S^2 = (28 + \sqrt{109})(28 - \sqrt{109}) · (1 + \sqrt{109})(-1 + \sqrt{109}) \)

\( S^2 = (28^2 - (\sqrt{109})^2) · ((\sqrt{109})^2 - 1^2) \)

\( S^2 = (784 - 109) · (109 - 1) \)

\( S^2 = 675 · 108 \)

\( S^2 = 72900 \)

\( S = \sqrt{72900} = 270 \)

Ответ: 270.