1094 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) п = 4, R = 3√2 см; б) п = 3, Р = 24 см; в) п = 6, r=9 см; г) п=8, r = 5√3 см.

а) n = 4, R = 3√2 см

Для квадрата (правильного 4-угольника) площадь можно найти, зная радиус описанной окружности R. Сторона квадрата равна a = R√2, тогда площадь S = a² = (R√2)² = 2R².

Подставим значение R:

S = 2 ⋅ (3√2)² = 2 ⋅ 9 ⋅ 2 = 36 см²

Ответ: S = 36 см²

б) n = 3, P = 24 см

Для правильного треугольника (n=3) известен периметр P = 24 см. Сторона треугольника равна a = P/3 = 24/3 = 8 см.

Площадь правильного треугольника можно найти по формуле S = (a²√3)/4.

Подставим значение a:

S = (8²√3)/4 = (64√3)/4 = 16√3 см²

Ответ: S = 16√3 см²

в) n = 6, r = 9 см

Для правильного шестиугольника (n=6) известен радиус вписанной окружности r = 9 см. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле S = 2√3 ⋅ r².

Подставим значение r:

S = 2√3 ⋅ 9² = 2√3 ⋅ 81 = 162√3 см²

Ответ: S = 162√3 см²

г) n = 8, r = 5√3 см

Для правильного восьмиугольника (n=8) известен радиус вписанной окружности r = 5√3 см. Площадь правильного восьмиугольника можно найти по формуле S = 8 ⋅ r² ⋅ tg(π/8), где tg(π/8) = √2 - 1.

S = 8 ⋅ (5√3)² ⋅ (√2 - 1) = 8 ⋅ 25 ⋅ 3 ⋅ (√2 - 1) = 600(√2 - 1) см²

Ответ: S = 600(√2 - 1) см²