1183 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) n=4, R = 3√2 см; б) п=3, Р=24 см; в) п=6, г=9 см; г) n=8, r = 5√3 см.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить формулы для нахождения площади правильного многоугольника.

а) n = 4, R = 3√2 см. Это квадрат, вписанный в окружность. Сторона квадрата a = R√2. Площадь квадрата S = a² = (R√2)² = 2R².

S = 2(3√2)² = 2 * 9 * 2 = 36 см²

б) n = 3, P = 24 см. Это правильный треугольник. Сторона треугольника a = P/3. Площадь правильного треугольника S = (a²√3)/4.

a = 24/3 = 8 см

S = (8²√3)/4 = (64√3)/4 = 16√3 см²

в) n = 6, r = 9 см. Это правильный шестиугольник, описанный около окружности. Площадь правильного шестиугольника S = (3√3 * a²)/ 2 , где a = r * (2/√3)

a = 9 * (2/√3) = 18/√3 = 6√3 см

S = (3√3 * (6√3)²)/2 = (3√3 * 36 * 3)/2 = (3√3 * 108)/2 = 324√3/2 = 162√3 см²

г) n = 8, r = 5√3 см.

Площадь правильного восьмиугольника можно найти по формуле: S = 2na²ctg(π/n) = 2(1 + √2)a²

Связь между стороной правильного восьмиугольника и радиусом вписанной окружности: a = 2r(√2 - 1)

a = 2 * 5√3 (√2 - 1) = 10√3 (√2 - 1) см

S = 2 * (1 + √2) * (10√3 (√2 - 1))² = 2 * (1 + √2) * 100 * 3 * (2 - 2√2 + 1) = 600 * (1 + √2) * (3 - 2√2) = 600 * (3 - 2√2 + 3√2 - 4) = 600 * (-1 + √2) см²

Ответ: а) 36 см²; б) 16√3 см²; в) 162√3 см²; г) 600 * (-1 + √2) см²