4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона - 13 см, высота - 12 см.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где a и b - основания, h - высота трапеции. Меньшее основание равно $$a=7$$ см, высота $$h=12$$ см, боковая сторона $$c=13$$ см. Необходимо найти большее основание b.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Тогда большее основание можно представить как: $$b = a + 2x$$, где x - проекция боковой стороны на большее основание. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и проекцией боковой стороны:

$$x^2 + h^2 = c^2$$

$$x^2 + 12^2 = 13^2$$

$$x^2 + 144 = 169$$

$$x^2 = 169 - 144 = 25$$

$$x = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

Тогда большее основание: $$b = 7 + 2 \cdot 5 = 7 + 10 = 17 \text{ см}$$

Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{7 + 17}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144 \text{ см}^2$$

Ответ: 144 см²