Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна бл, а угол сектора равен 120°. В те укажите площадь, деленную на п. 18. Тип 18 № 311914 Найдите синус острого угла трапеции, изображенной на рисунке. 19. Тип 19 № 401818 Какие из следующих утверждений верны? 1) Все высоты равностороннего треугольника равны. 2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. 3) В любой ромб можно вписать окружность. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания. 20. Тип 20 № 47 Сократите дробь 18n+3 32n+5.2n-2. 21. Тип 21 № 311653 Смешав 60%-ый и 30%-ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%-ый раствор кислот бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-ый раствор кислоты. Скол лограммов 60%-го раствора использовали для по

18. Обозначим острый угол трапеции за $$\alpha$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной и частью нижнего основания. Катеты этого треугольника равны 6 и 4 клеткам, следовательно, синус угла $$\alpha$$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Гипотенузу найдем по теореме Пифагора: $$\sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$. Тогда, $$\sin(\alpha) = \frac{6}{2\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$. 19. Проанализируем каждое утверждение: 1) Все высоты равностороннего треугольника равны. Это утверждение верно, так как равносторонний треугольник обладает симметрией. 2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. Это утверждение неверно. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 3) В любой ромб можно вписать окружность. Это утверждение верно, так как в любой ромб можно вписать окружность, центр которой находится в точке пересечения диагоналей. Следовательно, верные утверждения: 1 и 3. Запишем их номера в порядке возрастания: 13. 20. Сократим дробь: $$\frac{18^{n+3}}{32^{n+5} \cdot 2^{n-2}} = \frac{(2 \cdot 3^2)^{n+3}}{(2^5)^{n+5} \cdot 2^{n-2}} = \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2(n+3)}}{2^{5(n+5)} \cdot 2^{n-2}} = \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}{2^{5n+25} \cdot 2^{n-2}} = \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}{2^{6n+23}} = 2^{n+3-(6n+23)} \cdot 3^{2n+6} = 2^{-5n-20} \cdot 3^{2n+6} = \frac{3^{2n+6}}{2^{5n+20}}$$ 21. Пусть $$x$$ кг - масса 60%-го раствора, $$y$$ кг - масса 30%-го раствора. Тогда, смешав $$x$$ кг 60%-го раствора, $$y$$ кг 30%-го раствора и 5 кг воды, получили 20%-ый раствор кислоты. Это можно записать уравнением: $$0.6x + 0.3y = 0.2(x + y + 5)$$ $$0.6x + 0.3y = 0.2x + 0.2y + 1$$ $$0.4x + 0.1y = 1$$ Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-го раствора, то получили бы 70%-ый раствор кислоты. Это можно записать уравнением: $$0.6x + 0.3y + 0.9 \cdot 5 = 0.7(x + y + 5)$$ $$0.6x + 0.3y + 4.5 = 0.7x + 0.7y + 3.5$$ $$1 = 0.1x + 0.4y$$ Решим систему уравнений: $$\begin{cases}0.4x + 0.1y = 1\\0.1x + 0.4y = 1\end{cases}$$ Умножим первое уравнение на 4, второе на 1. $$\begin{cases}1.6x + 0.4y = 4\\0.1x + 0.4y = 1\end{cases}$$ Вычтем из первого уравнения второе: $$1.5x = 3$$ $$x = 2$$ Тогда, подставим $$x=2$$ во второе уравнение: $$0.1 \cdot 2 + 0.4y = 1$$ $$0.2 + 0.4y = 1$$ $$0.4y = 0.8$$ $$y = 2$$ Следовательно, масса 60%-го раствора равна 2 кг или 2000 граммов.