Найдите площадь фигуры (предварительно сделайте рисунок), ограниченной: а) графиком функции $ y = 4x - x^2 $, осью ординат и прямой $ y = 4 $; б) графиком функции $ y = \cos x $, осью абсцисс и прямыми $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{\pi}{3} $; в) графиками функций $ y = x^2 $ и $ y = 4x - 3x^2 $;

Question

Найдите площадь фигуры (предварительно сделайте рисунок), ограниченной: а) графиком функции $ y = 4x - x^2 $, осью ординат и прямой $ y = 4 $; б) графиком функции $ y = \cos x $, осью абсцисс и прямыми $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{\pi}{3} $; в) графиками функций $ y = x^2 $ и $ y = 4x - 3x^2 $;

$Фото задания: Найдите площадь фигуры (предварительно сделайте рисунок), ограниченной: а) графиком функции $ y = 4x - x^2 $, осью…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

а) Площадь фигуры, ограниченной $ y = 4x - x^2 $, осью ординат и прямой $ y = 4 $.

Сначала найдем точки пересечения параболы $ y = 4x - x^2 $ и прямой $ y = 4 $:
$ 4x - x^2 = 4 $
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
$ (x-2)^2 = 0 $
$ x = 2 $.
Парабола касается прямой $ y = 4 $ в точке $ x = 2 $.
Ось ординат — это $ x = 0 $.
Площадь фигуры находится интегрированием разности функций от $ x = 0 $ до $ x = 2 $:
$ S = \int_{0}^{2} (4 - (4x - x^2)) dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx $
$ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2} $
$ S = \left( \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4(2) \right) - (0) $
$ S = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3} $.

б) Площадь фигуры, ограниченной $ y = \cos x $, осью абсцисс и прямыми $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{\pi}{3} $.

В данном интервале $ [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] $ функция $ y = \cos x $ положительна.
Площадь находится как определенный интеграл от $ y = \cos x $ на заданном интервале:
$ S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x dx $
$ S = \left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} $
$ S = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6}) $
$ S = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $.

в) Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $ y = x^2 $ и $ y = 4x - 3x^2 $.

Сначала найдем точки пересечения графиков:
$ x^2 = 4x - 3x^2 $
$ 4x^2 - 4x = 0 $
$ 4x(x - 1) = 0 $
Точки пересечения: $ x = 0 $ и $ x = 1 $.
В интервале $ (0, 1) $, например, при $ x = 0.5 $, значение $ 4x - 3x^2 = 4(0.5) - 3(0.5)^2 = 2 - 3(0.25) = 2 - 0.75 = 1.25 $, а $ x^2 = (0.5)^2 = 0.25 $.
Значит, $ y = 4x - 3x^2 $ находится выше $ y = x^2 $ на этом интервале.
Площадь равна:
$ S = \int_{0}^{1} ((4x - 3x^2) - x^2) dx $
$ S = \int_{0}^{1} (4x - 4x^2) dx $
$ S = \left[ 2x^2 - \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{1} $
$ S = \left( 2(1)^2 - \frac{4(1)^3}{3} \right) - (0) $
$ S = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} $.

Ответ: а) $ \frac{8}{3} $; б) $ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $; в) $ \frac{2}{3} $.

Ответ:

Решение:

а) Площадь фигуры, ограниченной \( y = 4x - x^2 \), осью ординат и прямой \( y = 4 \).

б) Площадь фигуры, ограниченной \( y = \cos x \), осью абсцисс и прямыми \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{\pi}{3} \).

в) Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = x^2 \) и \( y = 4x - 3x^2 \).