Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами: у = 3x2 - 4x+3, y = -3x² - 4x +3.

Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения парабол, а затем вычислить интеграл разности функций на полученном отрезке.

1. Найдём точки пересечения парабол:

Приравняем уравнения парабол:

$$3x^2 - 4x + 3 = -3x^2 - 4x + 3$$ $$6x^2 = 0$$ $$x = 0$$

Получаем одну точку пересечения x = 0. Это значит, что параболы касаются в этой точке.

2. Определим, какая парабола находится выше другой:

Проверим значения функций в точке, отличной от x = 0, например, x = 1:

$$y_1(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 3 = 3 - 4 + 3 = 2$$ $$y_2(1) = -3(1)^2 - 4(1) + 3 = -3 - 4 + 3 = -4$$

Так как y₁ > y₂ в точке x = 1, то парабола y = 3x² - 4x + 3 находится выше параболы y = -3x² - 4x + 3 на рассматриваемом интервале.

3. Найдём вторую точку пересечения (если она есть):

Решим уравнение:

$$3x^2 - 4x + 3 = -3x^2 - 4x + 3$$ $$6x^2 = 0$$ $$x = 0$$

Поскольку других точек пересечения нет, нам нужно рассмотреть некоторый интервал вокруг x = 0. Для этого нужно понимать условие задачи. Поскольку в условии сказано «ограниченной параболами», то подразумевается, что они пересекаются в двух точках. Следовательно, в условии опечатка. Предположим, что уравнения парабол имеют вид:

$$y = 3x^2 - 4x + 3$$ $$y = -3x^2 + 4x + 3$$

Тогда точки пересечения определятся из уравнения:

$$3x^2 - 4x + 3 = -3x^2 + 4x + 3$$ $$6x^2 - 8x = 0$$ $$2x(3x - 4) = 0$$

Корни: x₁ = 0, x₂ = 4/3.

4. Вычислим площадь фигуры:

Площадь фигуры, ограниченной двумя параболами, вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций на отрезке между точками пересечения:

$$S = \int_{0}^{\frac{4}{3}} [(3x^2 - 4x + 3) - (-3x^2 + 4x + 3)] dx$$ $$S = \int_{0}^{\frac{4}{3}} (6x^2 - 8x) dx$$

Вычислим интеграл:

$$S = [2x^3 - 4x^2]_{0}^{\frac{4}{3}}$$ $$S = [2(\frac{4}{3})^3 - 4(\frac{4}{3})^2] - [0]$$ $$S = 2 \cdot \frac{64}{27} - 4 \cdot \frac{16}{9}$$ $$S = \frac{128}{27} - \frac{64}{9}$$ $$S = \frac{128}{27} - \frac{192}{27}$$ $$S = -\frac{64}{27}$$

Так как площадь не может быть отрицательной, берём модуль полученного значения.

$$S = |-\frac{64}{27}| = \frac{64}{27}$$

Если даны уравнения y = 3x² - 4x+3, y = -3x² - 4x +3, то площадь равна нулю.

Если уравнения имеют вид y = 3x² - 4x+3, y = -3x² + 4x +3, то

Ответ: $$\frac{64}{27}$$