Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA,B,C,D₁, в котором ВВ₁ = 2√3, АС₁=4√3, а угол АСВ равен 30°. Ответ:

Ответ: 36

1. Шаг 1: Найдем AC.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. По теореме Пифагора:

   \[AC^2 + CC_1^2 = AC_1^2\]

   Подставим известные значения:

   \[AC^2 + (2\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3})^2\] \[AC^2 + 12 = 48\] \[AC^2 = 36\] \[AC = 6\]

2. Шаг 2: Найдем AB и BC.

   Рассмотрим треугольник ABC. Известно, что угол ACB равен 30°. Пусть BC = x, тогда AB можно выразить через тангенс угла ACB:

   \[\tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC}\] \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{x}\] \[AB = \frac{x}{\sqrt{3}}\]

   Применим теорему Пифагора для треугольника ABC:

   \[AB^2 + BC^2 = AC^2\] \[(\frac{x}{\sqrt{3}})^2 + x^2 = 6^2\] \[\frac{x^2}{3} + x^2 = 36\] \[\frac{4x^2}{3} = 36\] \[x^2 = 27\] \[x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

   Тогда BC = 3√3, а AB = (3√3) / √3 = 3.

3. Шаг 3: Вычислим объем параллелепипеда.

   Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений:

   \[V = AB \cdot BC \cdot BB_1\]

   Подставим известные значения:

   \[V = 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}\] \[V = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2\] \[V = 54 \cdot 2\] \[V = 36\]

Ответ: 36