Найдите область определения функции y = sqrt((x+1)/(x-1))

Решение:

Для нахождения области определения функции \( y = \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \) необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, и знаменатель не равнялся нулю.

1. Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю:

\[ \frac{x+1}{x-1} \ge 0 \]

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

• \( x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
• \( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале:

• При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( \frac{-2+1}{-2-1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0 \).
• При \( -1 < x < 1 \), например \( x = 0 \): \( \frac{0+1}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1 < 0 \).
• При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3 > 0 \).

Таким образом, \( \frac{x+1}{x-1} \ge 0 \) при \( x ∈ (-\infty; -1] \cup (1; +\infty) \).

2. Знаменатель не должен равняться нулю:

\[ x-1
e 0 \Rightarrow x
e 1 \]

Учитывая оба условия, область определения функции:

\[ D(y): x ∈ (-\infty; -1] \cup (1; +\infty) \]

Это соответствует варианту 3.

Ответ: 3) (-∞; −1] U (1; +∞);