Найдите объём правильной треугольной пирамиды, в которой сторона основания равна 4. Через вершину основания проведено сечение, параллельное противоположной стороне основания и перпендикулярное противоположной боковой грани пирамиды. Сечение наклонено к плоскости основания под углом, тангенс которого равен \(\frac{1}{6}\).

Пусть основание пирамиды — равносторонний треугольник \(ABC\), вершина пирамиды — \(S\), а сечение проходит через вершину \(A\), параллельно стороне \(BC\) и перпендикулярно боковой грани \(SBC\).

Обозначим через \(O\) центр основания, а через \(M\) — середину стороны \(BC\). Так как пирамида правильная, \(SO\perp ABC\), а \(OM\perp BC\). Сечение, проходящее через \(A\) параллельно \(BC\), содержит прямую, параллельную \(BC\), и прямую через \(A\), параллельную \(OM\). Его угол наклона к основанию равен углу наклона прямой, параллельной \(OM\), поэтому в сечении имеем \(\tan\alpha=\frac{SO}{AM}\).

Для равностороннего треугольника со стороной \(4\): \(AM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot4=2\sqrt3\). Поэтому \(\frac{SO}{2\sqrt3}=\frac16\), откуда \(SO=\frac{\sqrt3}{3}\).

Площадь основания: \(S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}\cdot4^2=4\sqrt3\).

Тогда объём пирамиды равен \(V=\frac13S_{ABC}\cdot SO=\frac13\cdot4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac43\).

Ответ: \(\frac{4}{3}\).