Найдите объем куба (в куб.см), вписанного в шар, площадь поверхности которого равна 48π см².

Решение:

1. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле \( S = 4\pi R^2 \), где \( R \) — радиус шара. По условию \( S = 48\pi \) см².

2. Найдем радиус шара:

\( 4\pi R^2 = 48\pi \)

Разделим обе части на \( 4\pi \):

\( R^2 = 12 \)

\( R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.

3. Куб вписан в шар. Это означает, что вершины куба лежат на поверхности шара. Диагональ куба равна диаметру шара.

Диаметр шара \( D_{шара} = 2R = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) см.

4. Диагональ куба \( d_{куба} \) связана с его стороной \( a \) формулой \( d_{куба} = a\sqrt{3} \).

5. Приравниваем диагональ куба к диаметру шара:

\( a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)

Отсюда находим сторону куба:

\( a = 4 \) см.

6. Объем куба вычисляется по формуле \( V = a^3 \).

\( V = 4^3 = 64 \) см³.

Ответ: 64 см³.