200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного тре- угольника ABC (ZC = 90°), если: 1) AC=3 ) АС = 3 см, cosA = 1-4 2-3 4) АС = 6 см, соѕB = 1 3 2) BC = 5 5 см, sinA= 4 5) АВ = 12 см, cosB = 3) АС = 8 см, tgB = 3; 6) АВ = 8 см, ctgB = 7

Дружище, давай разберем эти задачи по геометрии! 1) \(AC = 3\) см, \(\cos A = \frac{1}{4}\) Краткое пояснение: Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике. Шаг 1: Определение косинуса \[\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}\] Шаг 2: Подставляем известные значения \[\frac{1}{4} = \frac{3}{AB}\] Шаг 3: Решаем уравнение для \(AB\) \[AB = 3 \times 4 = 12\text{ см}\] Шаг 4: Используем теорему Пифагора для нахождения \(BC\) \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 3^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}\text{ см}\] Ответ: \(AB = 12\) см, \(BC = 3\sqrt{15}\) см 2) \(BC = 5\) см, \(\sin A = \frac{2}{3}\) Краткое пояснение: Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике. Шаг 1: Определение синуса \[\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}\] Шаг 2: Подставляем известные значения \[\frac{2}{3} = \frac{5}{AB}\] Шаг 3: Решаем уравнение для \(AB\) \[AB = \frac{5 \times 3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\text{ см}\] Шаг 4: Используем теорему Пифагора для нахождения \(AC\) \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{7.5^2 - 5^2} = \sqrt{56.25 - 25} = \sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\text{ см}\] Ответ: \(AB = 7.5\) см, \(AC = \frac{5\sqrt{5}}{2}\) см 3) \(AC = 8\) см, \(\tan B = 3\) Краткое пояснение: Используем определение тангенса в прямоугольном треугольнике. Шаг 1: Определение тангенса \[\tan B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC}\] Шаг 2: Подставляем известные значения \[3 = \frac{8}{BC}\] Шаг 3: Решаем уравнение для \(BC\) \[BC = \frac{8}{3}\text{ см}\] Шаг 4: Используем теорему Пифагора для нахождения \(AB\) \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{576 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{640}{9}} = \frac{8\sqrt{10}}{3}\text{ см}\] Ответ: \(BC = \frac{8}{3}\) см, \(AB = \frac{8\sqrt{10}}{3}\) см 4) \(AC = 6\) см, \(\cos B = \frac{1}{3}\) Краткое пояснение: Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике. Шаг 1: Определение косинуса \[\cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}\] Шаг 2: Используем, что \(\sin A = \cos B\) \[\cos B = \frac{1}{3} = \frac{BC}{AB}\] Шаг 3: Найдем \(AB\) через \(\cos A\) \[\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\] \[\sin B = \frac{AC}{AB} \implies AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{6}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{6 \times 3}{2\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}\text{ см}\] Шаг 4: Найдем \(BC\) с помощью теоремы Пифагора \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{\left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 6^2} = \sqrt{\frac{81 \times 2}{4} - 36} = \sqrt{\frac{162}{4} - \frac{144}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ см}\] Ответ: \(AB = \frac{9\sqrt{2}}{2}\) см, \(BC = \frac{3\sqrt{2}}{2}\) см 5) \(AB = 12\) см, \(\cos B = \frac{4}{5}\) Краткое пояснение: Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике. Шаг 1: Определение косинуса \[\cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}\] Шаг 2: Подставляем известные значения \[\frac{4}{5} = \frac{BC}{12}\] Шаг 3: Решаем уравнение для \(BC\) \[BC = \frac{4 \times 12}{5} = \frac{48}{5} = 9.6\text{ см}\] Шаг 4: Используем теорему Пифагора для нахождения \(AC\) \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - 9.6^2} = \sqrt{144 - 92.16} = \sqrt{51.84} = 7.2\text{ см}\] Ответ: \(BC = 9.6\) см, \(AC = 7.2\) см 6) \(AB = 8\) см, \(\cot B = \frac{6}{7}\) Краткое пояснение: Используем определение котангенса в прямоугольном треугольнике. Шаг 1: Определение котангенса \[\cot B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{BC}{AC}\] Шаг 2: Вспоминаем, что \(\cot B = \frac{\cos B}{\sin B}\) Шаг 3: Найдем \(\sin B\) и \(\cos B\) \[\cot B = \frac{6}{7} \implies \tan B = \frac{7}{6}\] \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{7}{6} \implies AC = \frac{7}{6}BC\] Шаг 4: Подставляем в теорему Пифагора \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[8^2 = \left(\frac{7}{6}BC\right)^2 + BC^2\] \[64 = \frac{49}{36}BC^2 + BC^2\] \[64 = \frac{49 + 36}{36}BC^2\] \[64 = \frac{85}{36}BC^2\] \[BC^2 = \frac{64 \times 36}{85} = \frac{2304}{85}\] \[BC = \sqrt{\frac{2304}{85}} = \frac{48}{\sqrt{85}} = \frac{48\sqrt{85}}{85}\text{ см}\] Шаг 5: Найдем \(AC\) \[AC = \frac{7}{6}BC = \frac{7}{6} \times \frac{48\sqrt{85}}{85} = \frac{7 \times 8\sqrt{85}}{85} = \frac{56\sqrt{85}}{85}\text{ см}\] Ответ: \(BC = \frac{48\sqrt{85}}{85}\) см, \(AC = \frac{56\sqrt{85}}{85}\) см

Ответ: (указаны выше для каждого пункта)

Ответ: (указаны выше для каждого пункта)