Найдите наименьшее значение дроби \(\frac{(x-3)^2+2}{4}\).

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \((x-3)^2 \ge 0\).

Следовательно, числитель принимает наименьшее значение при \(x=3\):

\[(x-3)^2+2=0+2=2.\]

Тогда наименьшее значение дроби равно:

\[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\]

Ответ: \(\frac{1}{2}\).