Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

Решение:

Обозначим трёхзначное число как \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \), \( c \) — цифры, \( a \neq 0 \).

Условие: \( a \neq 0 \), \( a, b, c ∈ \{0, 1, ..., 9 \}. \)

Число можно записать как \( 100a + 10b + c \).

По условию, средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр: \( b = \frac{a+c}{2} \). Отсюда \( 2b = a+c \).

Это означает, что \( a \) и \( c \) имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные).

При делении на 6 число даёт остаток \( r \), \( r \neq 0 \). \( 100a + 10b + c ≡ r \cdot (\text{mod } 6) \).

При делении на 11 число даёт тот же остаток \( r \), \( r \neq 0 \). \( 100a + 10b + c ≡ r \cdot (\text{mod } 11) \).

Следовательно, \( 100a + 10b + c - r \) делится на 6 и на 11. Это значит, что \( 100a + 10b + c - r \) делится на \( \text{НОК}(6, 11) = 66 \).

\( 100a + 10b + c = 66k + r \), где \( k \) — целое число, \( r ∈ \{1, 2, 3, 4, 5 \} \) (остаток при делении на 6).

Также, \( 100a + 10b + c ≡ r \cdot (\text{mod } 11) \).

\( 100 ≡ 1 \cdot (\text{mod } 11) \), \( 10 ≡ -1 \cdot (\text{mod } 11) \).

\( 100a + 10b + c ≡ a - b + c \cdot (\text{mod } 11) \).

Значит, \( a - b + c ≡ r \cdot (\text{mod } 11) \).

Подставим \( b = \frac{a+c}{2} \): \( a - \frac{a+c}{2} + c ≡ r \cdot (\text{mod } 11) \).

\( \frac{2a - a - c + 2c}{2} ≡ r \cdot (\text{mod } 11) \).

\( \frac{a+c}{2} ≡ r \cdot (\text{mod } 11) \).

\( b ≡ r \cdot (\text{mod } 11) \).

Так как \( b \) — цифра, \( b ∈ \{0, ..., 9 \} \). Остаток \( r \) от деления на 6 не может быть равен 0. Следовательно, \( r ∈ \{1, 2, 3, 4, 5 \} \).

Из \( b ≡ r \cdot (\text{mod } 11) \) следует, что \( b = r \).

Значит, \( b ∈ \{1, 2, 3, 4, 5 \} \).

Также \( a+c = 2b \).

Теперь рассмотрим делимость на 6. \( 100a + 10b + c ≡ r \cdot (\text{mod } 6) \).

\( 100 ≡ 4 \cdot (\text{mod } 6) \), \( 10 ≡ 4 \cdot (\text{mod } 6) \).

\( 4a + 4b + c ≡ r \cdot (\text{mod } 6) \).

Подставим \( c = 2b - a \): \( 4a + 4b + (2b - a) ≡ r \cdot (\text{mod } 6) \).

\( 3a + 6b ≡ r \cdot (\text{mod } 6) \).

\( 3a ≡ r \cdot (\text{mod } 6) \).

Возможные значения \( r \) — \( 1, 2, 3, 4, 5 \). Возможные значения \( 3a \) (mod 6): \( 3 \cdot 1 = 3 \), \( 3 \cdot 2 = 0 \), \( 3 \cdot 3 = 3 \), \( 3 \cdot 4 = 0 \), \( 3 \cdot 5 = 3 \), \( 3 \cdot 0 = 0 \).

Значит, \( r \) может быть только 3.

Если \( r = 3 \), то \( 3a ≡ 3 \cdot (\text{mod } 6) \). Это верно, если \( a \) — нечётное число (1, 3, 5, 7, 9).

Итак, \( r = 3 \) и \( b = 3 \).

У нас есть условия: \( a \) — нечётное, \( b = 3 \), \( c = 2b - a = 6 - a \).

Так как \( a \) — нечётное, \( a ∈ \{1, 3, 5, 7, 9 \}. \)

\( c \) должно быть цифрой от 0 до 9. \( a \) и \( c \) должны быть одной чётности. \( a \) — нечётное, значит \( c \) должно быть нечётным.

Проверим значения \( a \) и \( c = 6 - a \):

• Если \( a = 1 \), то \( c = 6 - 1 = 5 \). \( a \) и \( c \) — нечётные. \( b = \frac{1+5}{2} = 3 \). Число: 135. Проверим остаток при делении на 6: \( 135 = 6 \cdot 22 + 3 \). Остаток 3. Проверим остаток при делении на 11: \( 135 = 11 \cdot 12 + 3 \). Остаток 3. Это подходящее число.
• Если \( a = 3 \), то \( c = 6 - 3 = 3 \). \( a \) и \( c \) — нечётные. \( b = \frac{3+3}{2} = 3 \). Число: 333. Проверим остаток при делении на 6: \( 333 = 6 \cdot 55 + 3 \). Остаток 3. Проверим остаток при делении на 11: \( 333 = 11 \cdot 30 + 3 \). Остаток 3. Это подходящее число.
• Если \( a = 5 \), то \( c = 6 - 5 = 1 \). \( a \) и \( c \) — нечётные. \( b = \frac{5+1}{2} = 3 \). Число: 531. Проверим остаток при делении на 6: \( 531 = 6 \cdot 88 + 3 \). Остаток 3. Проверим остаток при делении на 11: \( 531 = 11 \cdot 48 + 3 \). Остаток 3. Это подходящее число.
• Если \( a = 7 \), то \( c = 6 - 7 = -1 \). Не подходит.
• Если \( a = 9 \), то \( c = 6 - 9 = -3 \). Не подходит.

Мы нашли три числа, удовлетворяющих условиям: 135, 333, 531.

Нужно найти наименьшее трёхзначное натуральное число. Наименьшее из найденных — 135.

Ответ: 135