Контрольные задания
Вопрос:

Найдите наименьшее пятизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 12.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение:

Нам нужно найти наименьшее пятизначное число, состоящее только из цифр 2 и 0, которое делится на 12. Число делится на 12, если оно делится одновременно на 3 и на 4.

  1. Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4. Так как число состоит из цифр 0 и 2, последние две цифры могут быть 00, 20, 02, 22. Из них только 00 и 20 делятся на 4.
  2. Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
  3. Поиск наименьшего пятизначного числа: Наименьшее пятизначное число начинается с наименьшей возможной цифры. Поскольку число пятизначное, первая цифра не может быть 0. Поэтому первая цифра должна быть 2.

Рассмотрим варианты, удовлетворяющие условиям:

  • Вариант 1: Число заканчивается на 00. Наименьшее пятизначное число такого вида будет 20000. Сумма цифр = 2+0+0+0+0 = 2. 2 не делится на 3.
  • Вариант 2: Число заканчивается на 20. Наименьшее пятизначное число такого вида будет 20020. Сумма цифр = 2+0+0+2+0 = 4. 4 не делится на 3.
  • Вариант 3: Нам нужно, чтобы сумма цифр делилась на 3. В пятизначном числе, начинающемся с 2 и заканчивающемся на 00 или 20, нам нужно добавить цифры 2 и 0 так, чтобы сумма стала кратной 3.

Попробуем построить число, начинающееся с 2 и заканчивающееся на 00:

  • 20000: сумма 2 (не делится на 3)
  • 20200: сумма 4 (не делится на 3)
  • 22000: сумма 4 (не делится на 3)
  • 20000 + 2 = 20002. Не делится на 4.
  • 20000 + 2+2 = 20022. Не делится на 4.
  • 20000 + 2+2+2 = 20222. Не делится на 4.
  • 20000 + 2+0+2 = 20202. Не делится на 4.
  • 20000 + 0+2+0 = 20200. Сумма 4.

Попробуем построить число, начинающееся с 2 и заканчивающееся на 20:

  • 20020: сумма 4 (не делится на 3)
  • 22020: сумма 6 (делится на 3). Число 22020 делится на 4 (последние две цифры 20) и на 3 (сумма цифр 6). Это наименьшее пятизначное число, начинающееся с 2, заканчивающееся на 20 и делящееся на 3.

Сравним варианты:

  • Число, заканчивающееся на 00: Наименьшее возможное с суммой, кратной 3: 20202. Не делится на 4.
  • Число, заканчивающееся на 20: Наименьшее возможное с суммой, кратной 3: 22020. Делится на 4 и на 3.

Таким образом, наименьшее пятизначное число, состоящее из цифр 2 и 0, которое делится на 12, это 22020.

Ответ: 22020.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание