Найдите наибольшее значение функции y=x^3+6x^2+9x+11 на отрезке [-5; -2].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^3 + 6x^2 + 9x + 11)' = 3x^2 + 12x + 9 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 + 12x + 9 = 0 \)
3. Разделим уравнение на 3: \( x^2 + 4x + 3 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
5. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \).
6. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок [-5; -2]. Точка \( x = -1 \) не входит в отрезок. Точка \( x = -3 \) входит в отрезок.
7. Вычислим значения функции в критической точке \( x = -3 \) и на концах отрезка \( x = -5 \) и \( x = -2 \).
• При \( x = -5 \): \( y = (-5)^3 + 6(-5)^2 + 9(-5) + 11 = -125 + 6(25) - 45 + 11 = -125 + 150 - 45 + 11 = -9 \)
• При \( x = -3 \): \( y = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) + 11 = -27 + 6(9) - 27 + 11 = -27 + 54 - 27 + 11 = 11 \)
• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 9(-2) + 11 = -8 + 6(4) - 18 + 11 = -8 + 24 - 18 + 11 = 9 \)
8. Сравним полученные значения: -9, 11, 9. Наибольшее значение равно 11.

Ответ: 11