Найдите наибольшее значение функции y = x³ + 2x² - 4x + 4 на отрезке [-2; 0].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 4 \) на отрезке \( [-2; 0] \), нужно:

1. Найти производную функции: \( y' = 3x^2 + 4x - 4 \).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 + 4x - 4 = 0 \).
3. Решить квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \).
4. Найти корни: \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \).
5. Из найденных критических точек только \( x = -2 \) принадлежит отрезку \( [-2; 0] \). \( x = \frac{2}{3} \) не принадлежит отрезку.
6. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 + 2(4) + 8 + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12 \).
• При \( x = 0 \): \( y = 0^3 + 2(0)^2 - 4(0) + 4 = 4 \).
7. Сравнить полученные значения: 12 и 4. Наибольшее значение равно 12.

Ответ: 12