Найдите наибольшее значение функции y = 3x^5 - 5x^3 + 18 на отрезке [-2; 0].

Решение

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно найти значения функции в точках экстремума, которые попадают в этот отрезок, и на концах отрезка. Затем сравнить эти значения.

1. Находим производную функции:

   \( y = 3x^5 - 5x^3 + 18 \)

   \( y' = (3x^5 - 5x^3 + 18)' \)

   \( y' = 3 · 5x^4 - 5 · 3x^2 \)

   \( y' = 15x^4 - 15x^2 \)

2. Находим точки, в которых производная равна нулю:

   \( 15x^4 - 15x^2 = 0 \)

   \( 15x^2(x^2 - 1) = 0 \)

   Отсюда \( 15x^2 = 0 \) или \( x^2 - 1 = 0 \)

   \( x^2 = 0 \) ⇒ \( x = 0 \)

   \( x^2 = 1 \) ⇒ \( x = ±1 \)

   Точки, в которых производная равна нулю: \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \).

3. Выбираем точки, которые принадлежат отрезку [-2; 0]:

   На отрезке \( [-2; 0] \) находятся точки \( x = 0 \) и \( x = -1 \). Точка \( x = 1 \) не входит в отрезок.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в точках экстремума:

   • При \( x = -2 \):

   \( y = 3(-2)^5 - 5(-2)^3 + 18 \)

   \( y = 3(-32) - 5(-8) + 18 \)

   \( y = -96 + 40 + 18 \)

   \( y = -38 \)

   • При \( x = -1 \):

   \( y = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 18 \)

   \( y = 3(-1) - 5(-1) + 18 \)

   \( y = -3 + 5 + 18 \)

   \( y = 20 \)

   • При \( x = 0 \):

   \( y = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 18 \)

   \( y = 0 - 0 + 18 \)

   \( y = 18 \)

5. Сравниваем полученные значения:

   Значения функции на отрезке \( [-2; 0] \) равны: -38, 20, 18.

   Наибольшее значение равно 20.

Ответ: 20